Theorem fnmpl 14678

Description: mPoly has universal domain. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fnmpl	|- mPoly Fn ( _V X. _V )

Proof of Theorem fnmpl

Dummy variables a b f i k r w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mplcoe 14649	. 2 |- mPoly = ( i e. _V , r e. _V |-> [_ ( i mPwSer r ) / w ]_ ( w ↾s { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } ) )
2		fnpsr 14652	. . . 4 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
3		vex 2802	. . . 4 |- i e. _V
4		vex 2802	. . . 4 |- r e. _V
5		fnovex 6043	. . . 4 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ i e. _V /\ r e. _V ) -> ( i mPwSer r ) e. _V )
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1371	. . 3 |- ( i mPwSer r ) e. _V
7		vex 2802	. . . 4 |- w e. _V
8		basfn 13112	. . . . . 6 |- Base Fn _V
9		funfvex 5649	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ w e. dom Base ) -> ( Base ` w ) e. _V )
10	9	funfni 5426	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ w e. _V ) -> ( Base ` w ) e. _V )
11	8, 7, 10	mp2an 426	. . . . 5 |- ( Base ` w ) e. _V
12	11	rabex 4229	. . . 4 |- { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } e. _V
13		ressex 13119	. . . 4 |- ( ( w e. _V /\ { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } e. _V ) -> ( w ↾s { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } ) e. _V )
14	7, 12, 13	mp2an 426	. . 3 |- ( w ↾s { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } ) e. _V
15	6, 14	csbexa 4213	. 2 |- [_ ( i mPwSer r ) / w ]_ ( w ↾s { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } ) e. _V
16	1, 15	fnmpoi 6360	1 |- mPoly Fn ( _V X. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   _Vcvv 2799   [_csb 3124   class class class wbr 4083   X. cxp 4718   Fn wfn 5316   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   ^m cmap 6808   < clt 8197   NN0cn0 9385   Basecbs 13053   ↾_s cress 13054   0gc0g 13310   mPwSer cmps 14646   mPoly cmpl 14647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-i2m1 8120

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-ixp 6859  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-tset 13150  df-rest 13295  df-topn 13296  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-psr 14648  df-mplcoe 14649

This theorem is referenced by:  mplrcl  14679  mplbasss  14681  mplplusgg  14688  mpladd  14689