Theorem fnmpl 14499

Description: mPoly has universal domain. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fnmpl	|- mPoly Fn ( _V X. _V )

Proof of Theorem fnmpl

Dummy variables a b f i k r w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mplcoe 14470	. 2 |- mPoly = ( i e. _V , r e. _V |-> [_ ( i mPwSer r ) / w ]_ ( w ↾s { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } ) )
2		fnpsr 14473	. . . 4 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
3		vex 2776	. . . 4 |- i e. _V
4		vex 2776	. . . 4 |- r e. _V
5		fnovex 5984	. . . 4 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ i e. _V /\ r e. _V ) -> ( i mPwSer r ) e. _V )
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1350	. . 3 |- ( i mPwSer r ) e. _V
7		vex 2776	. . . 4 |- w e. _V
8		basfn 12934	. . . . . 6 |- Base Fn _V
9		funfvex 5600	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ w e. dom Base ) -> ( Base ` w ) e. _V )
10	9	funfni 5381	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ w e. _V ) -> ( Base ` w ) e. _V )
11	8, 7, 10	mp2an 426	. . . . 5 |- ( Base ` w ) e. _V
12	11	rabex 4192	. . . 4 |- { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } e. _V
13		ressex 12941	. . . 4 |- ( ( w e. _V /\ { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } e. _V ) -> ( w ↾s { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } ) e. _V )
14	7, 12, 13	mp2an 426	. . 3 |- ( w ↾s { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } ) e. _V
15	6, 14	csbexa 4177	. 2 |- [_ ( i mPwSer r ) / w ]_ ( w ↾s { f e. ( Base ` w ) | E. a e. ( NN0 ^m i ) A. b e. ( NN0 ^m i ) ( A. k e. i ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` r ) ) } ) e. _V
16	1, 15	fnmpoi 6296	1 |- mPoly Fn ( _V X. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   {crab 2489   _Vcvv 2773   [_csb 3094   class class class wbr 4047   X. cxp 4677   Fn wfn 5271   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   ^m cmap 6742   < clt 8114   NN0cn0 9302   Basecbs 12876   ↾_s cress 12877   0gc0g 13132   mPwSer cmps 14467   mPoly cmpl 14468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-i2m1 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-map 6744  df-ixp 6793  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-tset 12972  df-rest 13117  df-topn 13118  df-topgen 13136  df-pt 13137  df-psr 14469  df-mplcoe 14470

This theorem is referenced by:  mplrcl  14500  mplbasss  14502  mplplusgg  14509  mpladd  14510