Theorem mplsubgfilemm 14965

Description: Lemma for mplsubgfi 14968. There exists a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mplsubg.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfilemm	|- ( ph -> E. j j e. U )

Distinct variable groups:   S, j   U, j

Allowed substitution hints:   ph( j)   P( j)   R( j)   I( j)

Proof of Theorem mplsubgfilemm

Dummy variables a b k n f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
2		mplsubg.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
3		mplsubg.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
4		eqid 2234	. . . . 5 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		eqid 2234	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6		eqid 2234	. . . . 5 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psr0 14953	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` S ) = ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) )
8		eqid 2234	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	psr0cl 14948	. . . 4 |- ( ph -> ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) e. ( Base ` S ) )
10	7, 9	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
11		0nn0 9528	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> 0 e. NN0 )
13	12	fmpttd 5837	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. I |-> 0 ) : I --> NN0 )
14		nn0ex 9519	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
15	14	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> NN0 e. _V )
16	15, 2	elmapd 6909	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. I |-> 0 ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( n e. I |-> 0 ) : I --> NN0 ) )
17	13, 16	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. I |-> 0 ) e. ( NN0 ^m I ) )
18	7	fveq1d 5677	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) )
20		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
21	20, 5	grpidcl 13826	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Grp -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> b e. ( NN0 ^m I ) )
25	4	psrbagfi 14935	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. Fin -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
28	24, 27	eleqtrrd 2314	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> b e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
29		fvconst2g 5903	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) /\ b e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
30	23, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
31	19, 30	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
32	31	a1d 22	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
33	32	ralrimiva 2617	. . . 4 |- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
34		fveq1 5674	. . . . . . 7 |- ( a = ( n e. I |-> 0 ) -> ( a ` k ) = ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) )
35	34	breq1d 4124	. . . . . 6 |- ( a = ( n e. I |-> 0 ) -> ( ( a ` k ) < ( b ` k ) <-> ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) ) )
36	35	ralbidv 2544	. . . . 5 |- ( a = ( n e. I |-> 0 ) -> ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) <-> A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) ) )
37	36	rspceaimv 2932	. . . 4 |- ( ( ( n e. I |-> 0 ) e. ( NN0 ^m I ) /\ A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
38	17, 33, 37	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
39		mplsubg.p	. . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
40		mplsubg.u	. . . . 5 |- U = ( Base ` P )
41	39, 1, 8, 5, 40	mplelbascoe 14959	. . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> ( ( 0g ` S ) e. U <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
42	2, 3, 41	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( 0g ` S ) e. U <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
43	10, 38, 42	mpbir2and 953	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` S ) e. U )
44		eleq1 2297	. . 3 |- ( j = ( 0g ` S ) -> ( j e. U <-> ( 0g ` S ) e. U ) )
45	44	spcegv 2907	. 2 |- ( ( 0g ` S ) e. U -> ( ( 0g ` S ) e. U -> E. j j e. U ) )
46	43, 43, 45	sylc 62	1 |- ( ph -> E. j j e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   _Vcvv 2815   {csn 3694   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   X. cxp 4752   `'ccnv 4753   "cima 4757   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   Fincfn 6988   0cc0 8143   < clt 8324   NNcn 9254   NN0cn0 9513   Basecbs 13296   0gc0g 13553   Grpcgrp 13797   mPwSer cmps 14921   mPoly cmpl 14922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-ixp 6947  df-en 6989  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-fz 10362  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-ip 13392  df-tset 13393  df-ple 13394  df-ds 13396  df-hom 13398  df-cco 13399  df-rest 13538  df-topn 13539  df-0g 13555  df-topgen 13557  df-pt 13558  df-prds 13564  df-pws 13587  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-psr 14923  df-mplcoe 14924

This theorem is referenced by:  mplsubgfi  14968