Theorem mplsubgfilemm 14683

Description: Lemma for mplsubgfi 14686. There exists a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mplsubg.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfilemm	|- ( ph -> E. j j e. U )

Distinct variable groups:   S, j   U, j

Allowed substitution hints:   ph( j)   P( j)   R( j)   I( j)

Proof of Theorem mplsubgfilemm

Dummy variables a b k n f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
2		mplsubg.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
3		mplsubg.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
4		eqid 2229	. . . . 5 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psr0 14671	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` S ) = ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) )
8		eqid 2229	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	psr0cl 14666	. . . 4 |- ( ph -> ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) e. ( Base ` S ) )
10	7, 9	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
11		0nn0 9400	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> 0 e. NN0 )
13	12	fmpttd 5795	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. I |-> 0 ) : I --> NN0 )
14		nn0ex 9391	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
15	14	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> NN0 e. _V )
16	15, 2	elmapd 6822	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. I |-> 0 ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( n e. I |-> 0 ) : I --> NN0 ) )
17	13, 16	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. I |-> 0 ) e. ( NN0 ^m I ) )
18	7	fveq1d 5634	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) )
20		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
21	20, 5	grpidcl 13583	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Grp -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> b e. ( NN0 ^m I ) )
25	4	psrbagfi 14658	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. Fin -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
28	24, 27	eleqtrrd 2309	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> b e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
29		fvconst2g 5860	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) /\ b e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
30	23, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
31	19, 30	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
32	31	a1d 22	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
33	32	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
34		fveq1 5631	. . . . . . 7 |- ( a = ( n e. I |-> 0 ) -> ( a ` k ) = ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) )
35	34	breq1d 4093	. . . . . 6 |- ( a = ( n e. I |-> 0 ) -> ( ( a ` k ) < ( b ` k ) <-> ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) ) )
36	35	ralbidv 2530	. . . . 5 |- ( a = ( n e. I |-> 0 ) -> ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) <-> A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) ) )
37	36	rspceaimv 2915	. . . 4 |- ( ( ( n e. I |-> 0 ) e. ( NN0 ^m I ) /\ A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
38	17, 33, 37	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
39		mplsubg.p	. . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
40		mplsubg.u	. . . . 5 |- U = ( Base ` P )
41	39, 1, 8, 5, 40	mplelbascoe 14677	. . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> ( ( 0g ` S ) e. U <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
42	2, 3, 41	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( 0g ` S ) e. U <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
43	10, 38, 42	mpbir2and 950	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` S ) e. U )
44		eleq1 2292	. . 3 |- ( j = ( 0g ` S ) -> ( j e. U <-> ( 0g ` S ) e. U ) )
45	44	spcegv 2891	. 2 |- ( ( 0g ` S ) e. U -> ( ( 0g ` S ) e. U -> E. j j e. U ) )
46	43, 43, 45	sylc 62	1 |- ( ph -> E. j j e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   _Vcvv 2799   {csn 3666   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   X. cxp 4718   `'ccnv 4719   "cima 4723   -->wf 5317   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   ^m cmap 6808   Fincfn 6900   0cc0 8015   < clt 8197   NNcn 9126   NN0cn0 9385   Basecbs 13053   0gc0g 13310   Grpcgrp 13554   mPwSer cmps 14646   mPoly cmpl 14647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-er 6693  df-map 6810  df-ixp 6859  df-en 6901  df-fin 6903  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-fz 10222  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-hom 13155  df-cco 13156  df-rest 13295  df-topn 13296  df-0g 13312  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-prds 13321  df-pws 13344  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-psr 14648  df-mplcoe 14649

This theorem is referenced by:  mplsubgfi  14686