Theorem mplsubgfilemm 14779

Description: Lemma for mplsubgfi 14782. There exists a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mplsubg.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfilemm	|- ( ph -> E. j j e. U )

Distinct variable groups:   S, j   U, j

Allowed substitution hints:   ph( j)   P( j)   R( j)   I( j)

Proof of Theorem mplsubgfilemm

Dummy variables a b k n f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
2		mplsubg.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
3		mplsubg.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
4		eqid 2231	. . . . 5 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psr0 14767	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` S ) = ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) )
8		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	psr0cl 14762	. . . 4 |- ( ph -> ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) e. ( Base ` S ) )
10	7, 9	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
11		0nn0 9460	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> 0 e. NN0 )
13	12	fmpttd 5810	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. I |-> 0 ) : I --> NN0 )
14		nn0ex 9451	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
15	14	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> NN0 e. _V )
16	15, 2	elmapd 6874	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. I |-> 0 ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( n e. I |-> 0 ) : I --> NN0 ) )
17	13, 16	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. I |-> 0 ) e. ( NN0 ^m I ) )
18	7	fveq1d 5650	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) )
20		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
21	20, 5	grpidcl 13673	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Grp -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> b e. ( NN0 ^m I ) )
25	4	psrbagfi 14750	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. Fin -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
28	24, 27	eleqtrrd 2311	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> b e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
29		fvconst2g 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) /\ b e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
30	23, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 0g ` R ) } ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
31	19, 30	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
32	31	a1d 22	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
33	32	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
34		fveq1 5647	. . . . . . 7 |- ( a = ( n e. I |-> 0 ) -> ( a ` k ) = ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) )
35	34	breq1d 4103	. . . . . 6 |- ( a = ( n e. I |-> 0 ) -> ( ( a ` k ) < ( b ` k ) <-> ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) ) )
36	35	ralbidv 2533	. . . . 5 |- ( a = ( n e. I |-> 0 ) -> ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) <-> A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) ) )
37	36	rspceaimv 2919	. . . 4 |- ( ( ( n e. I |-> 0 ) e. ( NN0 ^m I ) /\ A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( ( n e. I |-> 0 ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
38	17, 33, 37	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
39		mplsubg.p	. . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
40		mplsubg.u	. . . . 5 |- U = ( Base ` P )
41	39, 1, 8, 5, 40	mplelbascoe 14773	. . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> ( ( 0g ` S ) e. U <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
42	2, 3, 41	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( 0g ` S ) e. U <-> ( ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( 0g ` S ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
43	10, 38, 42	mpbir2and 953	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` S ) e. U )
44		eleq1 2294	. . 3 |- ( j = ( 0g ` S ) -> ( j e. U <-> ( 0g ` S ) e. U ) )
45	44	spcegv 2895	. 2 |- ( ( 0g ` S ) e. U -> ( ( 0g ` S ) e. U -> E. j j e. U ) )
46	43, 43, 45	sylc 62	1 |- ( ph -> E. j j e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   _Vcvv 2803   {csn 3673   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   X. cxp 4729   `'ccnv 4730   "cima 4734   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   0cc0 8075   < clt 8257   NNcn 9186   NN0cn0 9445   Basecbs 13143   0gc0g 13400   Grpcgrp 13644   mPwSer cmps 14737   mPoly cmpl 14738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-ixp 6911  df-en 6953  df-fin 6955  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-fz 10287  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-tset 13240  df-ple 13241  df-ds 13243  df-hom 13245  df-cco 13246  df-rest 13385  df-topn 13386  df-0g 13402  df-topgen 13404  df-pt 13405  df-prds 13411  df-pws 13434  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-psr 14739  df-mplcoe 14740

This theorem is referenced by:  mplsubgfi  14782