ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnegz Unicode version

Theorem nnnegz 9015
Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nnnegz  |-  ( N  e.  NN  ->  -u N  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnnegz
StepHypRef Expression
1 nnre 8691 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
21renegcld 8110 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  -u N  e.  RR )
3 nncn 8692 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
4 negneg 7980 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  -u -u N  =  N )
54eleq1d 2186 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  ( -u -u N  e.  NN  <->  N  e.  NN ) )
65biimprd 157 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  e.  NN  ->  -u -u N  e.  NN ) )
73, 6mpcom 36 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  -u -u N  e.  NN )
873mix3d 1143 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u N  =  0  \/  -u N  e.  NN  \/  -u -u N  e.  NN ) )
9 elz 9014 . 2  |-  ( -u N  e.  ZZ  <->  ( -u N  e.  RR  /\  ( -u N  =  0  \/  -u N  e.  NN  \/  -u -u N  e.  NN ) ) )
102, 8, 9sylanbrc 413 1  |-  ( N  e.  NN  ->  -u N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 946    = wceq 1316    e. wcel 1465   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   -ucneg 7902   NNcn 8684   ZZcz 9012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8685  df-z 9013
This theorem is referenced by:  znegcl  9043  neg1z  9044  zeo  9114  btwnz  9128  expaddzaplem  10291
  Copyright terms: Public domain W3C validator