Theorem nnnegz 9543

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	|- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9209	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. RR )
2	1	renegcld 8618	. 2 |- ( N e. NN -> -u N e. RR )
3		nncn 9210	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. CC )
4		negneg 8488	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> -u -u N = N )
5	4	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( -u -u N e. NN <-> N e. NN ) )
6	5	biimprd 158	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( N e. NN -> -u -u N e. NN ) )
7	3, 6	mpcom 36	. . 3 |- ( N e. NN -> -u -u N e. NN )
8	7	3mix3d 1201	. 2 |- ( N e. NN -> ( -u N = 0 \/ -u N e. NN \/ -u -u N e. NN ) )
9		elz 9542	. 2 |- ( -u N e. ZZ <-> ( -u N e. RR /\ ( -u N = 0 \/ -u N e. NN \/ -u -u N e. NN ) ) )
10	2, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2202   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   -ucneg 8410   NNcn 9202   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-z 9541

This theorem is referenced by:  znegcl  9571  neg1z  9572  zeo  9646  btwnz  9660  expaddzaplem  10907  mulgnegnn  13799  mulgneg2  13823