Theorem nnnegz 9580

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	|- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9244	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. RR )
2	1	renegcld 8653	. 2 |- ( N e. NN -> -u N e. RR )
3		nncn 9245	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. CC )
4		negneg 8523	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> -u -u N = N )
5	4	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( -u -u N e. NN <-> N e. NN ) )
6	5	biimprd 158	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( N e. NN -> -u -u N e. NN ) )
7	3, 6	mpcom 36	. . 3 |- ( N e. NN -> -u -u N e. NN )
8	7	3mix3d 1201	. 2 |- ( N e. NN -> ( -u N = 0 \/ -u N e. NN \/ -u -u N e. NN ) )
9		elz 9579	. 2 |- ( -u N e. ZZ <-> ( -u N e. RR /\ ( -u N = 0 \/ -u N e. NN \/ -u -u N e. NN ) ) )
10	2, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2203   CCcc 8125   RRcr 8126   0cc0 8127   -ucneg 8445   NNcn 9237   ZZcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-z 9578

This theorem is referenced by:  znegcl  9608  neg1z  9609  zeo  9683  btwnz  9697  expaddzaplem  10944  mulgnegnn  13849  mulgneg2  13873