Theorem nnnegz 9346

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	|- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9014	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. RR )
2	1	renegcld 8423	. 2 |- ( N e. NN -> -u N e. RR )
3		nncn 9015	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. CC )
4		negneg 8293	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> -u -u N = N )
5	4	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( -u -u N e. NN <-> N e. NN ) )
6	5	biimprd 158	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( N e. NN -> -u -u N e. NN ) )
7	3, 6	mpcom 36	. . 3 |- ( N e. NN -> -u -u N e. NN )
8	7	3mix3d 1176	. 2 |- ( N e. NN -> ( -u N = 0 \/ -u N e. NN \/ -u -u N e. NN ) )
9		elz 9345	. 2 |- ( -u N e. ZZ <-> ( -u N e. RR /\ ( -u N = 0 \/ -u N e. NN \/ -u -u N e. NN ) ) )
10	2, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2167   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   -ucneg 8215   NNcn 9007   ZZcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-z 9344

This theorem is referenced by:  znegcl  9374  neg1z  9375  zeo  9448  btwnz  9462  expaddzaplem  10691  mulgnegnn  13338  mulgneg2  13362