Theorem nnnegz 9270

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	|- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8940	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. RR )
2	1	renegcld 8351	. 2 |- ( N e. NN -> -u N e. RR )
3		nncn 8941	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. CC )
4		negneg 8221	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> -u -u N = N )
5	4	eleq1d 2256	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( -u -u N e. NN <-> N e. NN ) )
6	5	biimprd 158	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( N e. NN -> -u -u N e. NN ) )
7	3, 6	mpcom 36	. . 3 |- ( N e. NN -> -u -u N e. NN )
8	7	3mix3d 1175	. 2 |- ( N e. NN -> ( -u N = 0 \/ -u N e. NN \/ -u -u N e. NN ) )
9		elz 9269	. 2 |- ( -u N e. ZZ <-> ( -u N e. RR /\ ( -u N = 0 \/ -u N e. NN \/ -u -u N e. NN ) ) )
10	2, 8, 9	sylanbrc 417	1 |- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 978   = wceq 1363   e. wcel 2158   CCcc 7823   RRcr 7824   0cc0 7825   -ucneg 8143   NNcn 8933   ZZcz 9267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-z 9268

This theorem is referenced by:  znegcl  9298  neg1z  9299  zeo  9372  btwnz  9386  expaddzaplem  10577  mulgnegnn  13033  mulgneg2  13057