Theorem negneg 8221

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8145	. . 3 ⊢ --𝐴 = (0 − -𝐴)
2		0cn 7963	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subneg 8220	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − -𝐴) = (0 + 𝐴))
4	2, 3	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − -𝐴) = (0 + 𝐴))
5	1, 4	eqtrid 2232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = (0 + 𝐴))
6		addlid 8110	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
7	5, 6	eqtrd 2220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  (class class class)co 5888  ℂcc 7823  0cc0 7825   + caddc 7828   − cmin 8142  -cneg 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8144  df-neg 8145

This theorem is referenced by:  neg11  8222  negcon1  8223  negreb  8236  negnegi  8241  negnegd  8273  negf1o  8353  mul2neg  8369  divneg2ap  8707  nnnegz  9270  znegclb  9300  expineg2  10543  shftcan2  10858  negfi  11250  dvdsnegb  11829