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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > expaddzaplem | Unicode version |
Description: Lemma for expaddzap 9836. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.) |
Ref | Expression |
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expaddzaplem |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp1l 963 |
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2 | simp3 941 |
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3 | expcl 9810 |
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4 | 1, 2, 3 | syl2anc 403 |
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5 | simp2r 966 |
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6 | 5 | nnnn0d 8618 |
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7 | expcl 9810 |
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8 | 1, 6, 7 | syl2anc 403 |
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9 | simp1r 964 |
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10 | 5 | nnzd 8763 |
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11 | expap0i 9824 |
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12 | 1, 9, 10, 11 | syl3anc 1170 |
. . 3
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13 | 4, 8, 12 | divrecap2d 8158 |
. 2
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14 | simp2l 965 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 14 | recnd 7419 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | negnegd 7687 |
. . . . . . . . 9
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17 | nnnegz 8649 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 5, 17 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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19 | 16, 18 | eqeltrrd 2160 |
. . . . . . . 8
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20 | 2 | nn0zd 8762 |
. . . . . . . 8
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21 | 19, 20 | zaddcld 8768 |
. . . . . . 7
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22 | expclzap 9817 |
. . . . . . 7
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23 | 1, 9, 21, 22 | syl3anc 1170 |
. . . . . 6
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24 | 23 | adantr 270 |
. . . . 5
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25 | 8 | adantr 270 |
. . . . 5
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26 | 12 | adantr 270 |
. . . . 5
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27 | 24, 25, 26 | divcanap4d 8160 |
. . . 4
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28 | 1 | adantr 270 |
. . . . . . 7
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29 | simpr 108 |
. . . . . . 7
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30 | 6 | adantr 270 |
. . . . . . 7
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31 | expadd 9834 |
. . . . . . 7
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32 | 28, 29, 30, 31 | syl3anc 1170 |
. . . . . 6
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33 | 21 | zcnd 8765 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33, 15 | negsubd 7702 |
. . . . . . . . 9
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35 | 2 | nn0cnd 8620 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 15, 35 | pncan2d 7698 |
. . . . . . . . 9
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37 | 34, 36 | eqtrd 2115 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | adantr 270 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | oveq2d 5607 |
. . . . . 6
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40 | 32, 39 | eqtr3d 2117 |
. . . . 5
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41 | 40 | oveq1d 5606 |
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42 | 27, 41 | eqtr3d 2117 |
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43 | 1 | adantr 270 |
. . . . 5
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44 | 9 | adantr 270 |
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45 | 33 | adantr 270 |
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46 | simpr 108 |
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47 | expineg2 9801 |
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48 | 43, 44, 45, 46, 47 | syl22anc 1171 |
. . . 4
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49 | 21 | znegcld 8766 |
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50 | expclzap 9817 |
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52 | 51 | adantr 270 |
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54 | expap0i 9824 |
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57 | 52, 53, 56 | divcanap4d 8160 |
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59 | expadd 9834 |
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60 | 43, 46, 58, 59 | syl3anc 1170 |
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61 | 15, 35 | negdi2d 7710 |
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62 | 61 | oveq1d 5606 |
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64 | 63, 35 | npcand 7700 |
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66 | 65 | adantr 270 |
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67 | 66 | oveq2d 5607 |
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68 | 60, 67 | eqtr3d 2117 |
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71 | 70 | oveq2d 5607 |
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72 | 8, 4, 12, 55 | recdivapd 8171 |
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73 | 72 | adantr 270 |
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74 | 71, 73 | eqtrd 2115 |
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75 | 48, 74 | eqtrd 2115 |
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76 | elznn0 8661 |
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77 | 76 | simprbi 269 |
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78 | 21, 77 | syl 14 |
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79 | 42, 75, 78 | mpjaodan 745 |
. 2
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80 | expineg2 9801 |
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81 | 1, 9, 15, 6, 80 | syl22anc 1171 |
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82 | 81 | oveq1d 5606 |
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83 | 13, 79, 82 | 3eqtr4d 2125 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2065 ax-coll 3919 ax-sep 3922 ax-nul 3930 ax-pow 3974 ax-pr 4000 ax-un 4224 ax-setind 4316 ax-iinf 4366 ax-cnex 7339 ax-resscn 7340 ax-1cn 7341 ax-1re 7342 ax-icn 7343 ax-addcl 7344 ax-addrcl 7345 ax-mulcl 7346 ax-mulrcl 7347 ax-addcom 7348 ax-mulcom 7349 ax-addass 7350 ax-mulass 7351 ax-distr 7352 ax-i2m1 7353 ax-0lt1 7354 ax-1rid 7355 ax-0id 7356 ax-rnegex 7357 ax-precex 7358 ax-cnre 7359 ax-pre-ltirr 7360 ax-pre-ltwlin 7361 ax-pre-lttrn 7362 ax-pre-apti 7363 ax-pre-ltadd 7364 ax-pre-mulgt0 7365 ax-pre-mulext 7366 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 777 df-3or 921 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1688 df-eu 1946 df-mo 1947 df-clab 2070 df-cleq 2076 df-clel 2079 df-nfc 2212 df-ne 2250 df-nel 2345 df-ral 2358 df-rex 2359 df-reu 2360 df-rmo 2361 df-rab 2362 df-v 2614 df-sbc 2827 df-csb 2920 df-dif 2986 df-un 2988 df-in 2990 df-ss 2997 df-nul 3270 df-if 3374 df-pw 3408 df-sn 3428 df-pr 3429 df-op 3431 df-uni 3628 df-int 3663 df-iun 3706 df-br 3812 df-opab 3866 df-mpt 3867 df-tr 3902 df-id 4084 df-po 4087 df-iso 4088 df-iord 4157 df-on 4159 df-ilim 4160 df-suc 4162 df-iom 4369 df-xp 4407 df-rel 4408 df-cnv 4409 df-co 4410 df-dm 4411 df-rn 4412 df-res 4413 df-ima 4414 df-iota 4934 df-fun 4971 df-fn 4972 df-f 4973 df-f1 4974 df-fo 4975 df-f1o 4976 df-fv 4977 df-riota 5547 df-ov 5594 df-oprab 5595 df-mpt2 5596 df-1st 5846 df-2nd 5847 df-recs 6002 df-frec 6088 df-pnf 7427 df-mnf 7428 df-xr 7429 df-ltxr 7430 df-le 7431 df-sub 7558 df-neg 7559 df-reap 7952 df-ap 7959 df-div 8038 df-inn 8317 df-n0 8566 df-z 8647 df-uz 8915 df-iseq 9741 df-iexp 9792 |
This theorem is referenced by: expaddzap 9836 |
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