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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > expaddzaplem | Unicode version |
Description: Lemma for expaddzap 9995. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.) |
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expaddzaplem |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp1l 967 |
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2 | simp3 945 |
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3 | expcl 9969 |
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4 | 1, 2, 3 | syl2anc 403 |
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5 | simp2r 970 |
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6 | 5 | nnnn0d 8724 |
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7 | expcl 9969 |
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8 | 1, 6, 7 | syl2anc 403 |
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9 | simp1r 968 |
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10 | 5 | nnzd 8865 |
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11 | expap0i 9983 |
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12 | 1, 9, 10, 11 | syl3anc 1174 |
. . 3
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13 | 4, 8, 12 | divrecap2d 8259 |
. 2
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14 | simp2l 969 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 14 | recnd 7514 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | negnegd 7782 |
. . . . . . . . 9
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17 | nnnegz 8751 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 5, 17 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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19 | 16, 18 | eqeltrrd 2165 |
. . . . . . . 8
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20 | 2 | nn0zd 8864 |
. . . . . . . 8
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21 | 19, 20 | zaddcld 8870 |
. . . . . . 7
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22 | expclzap 9976 |
. . . . . . 7
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23 | 1, 9, 21, 22 | syl3anc 1174 |
. . . . . 6
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24 | 23 | adantr 270 |
. . . . 5
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25 | 8 | adantr 270 |
. . . . 5
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26 | 12 | adantr 270 |
. . . . 5
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27 | 24, 25, 26 | divcanap4d 8261 |
. . . 4
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28 | 1 | adantr 270 |
. . . . . . 7
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29 | simpr 108 |
. . . . . . 7
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30 | 6 | adantr 270 |
. . . . . . 7
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31 | expadd 9993 |
. . . . . . 7
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32 | 28, 29, 30, 31 | syl3anc 1174 |
. . . . . 6
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33 | 21 | zcnd 8867 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33, 15 | negsubd 7797 |
. . . . . . . . 9
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35 | 2 | nn0cnd 8726 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 15, 35 | pncan2d 7793 |
. . . . . . . . 9
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37 | 34, 36 | eqtrd 2120 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | adantr 270 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | oveq2d 5668 |
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40 | 32, 39 | eqtr3d 2122 |
. . . . 5
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41 | 40 | oveq1d 5667 |
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42 | 27, 41 | eqtr3d 2122 |
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43 | 1 | adantr 270 |
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44 | 9 | adantr 270 |
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45 | 33 | adantr 270 |
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46 | simpr 108 |
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47 | expineg2 9960 |
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48 | 43, 44, 45, 46, 47 | syl22anc 1175 |
. . . 4
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49 | 21 | znegcld 8868 |
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50 | expclzap 9976 |
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52 | 51 | adantr 270 |
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54 | expap0i 9983 |
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57 | 52, 53, 56 | divcanap4d 8261 |
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59 | expadd 9993 |
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60 | 43, 46, 58, 59 | syl3anc 1174 |
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61 | 15, 35 | negdi2d 7805 |
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62 | 61 | oveq1d 5667 |
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64 | 63, 35 | npcand 7795 |
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65 | 62, 64 | eqtrd 2120 |
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67 | 66 | oveq2d 5668 |
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68 | 60, 67 | eqtr3d 2122 |
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70 | 57, 69 | eqtr3d 2122 |
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71 | 70 | oveq2d 5668 |
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72 | 8, 4, 12, 55 | recdivapd 8272 |
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73 | 72 | adantr 270 |
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74 | 71, 73 | eqtrd 2120 |
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75 | 48, 74 | eqtrd 2120 |
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76 | elznn0 8763 |
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77 | 76 | simprbi 269 |
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78 | 21, 77 | syl 14 |
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79 | 42, 75, 78 | mpjaodan 747 |
. 2
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80 | expineg2 9960 |
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81 | 1, 9, 15, 6, 80 | syl22anc 1175 |
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82 | 81 | oveq1d 5667 |
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83 | 13, 79, 82 | 3eqtr4d 2130 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 579 ax-in2 580 ax-io 665 ax-5 1381 ax-7 1382 ax-gen 1383 ax-ie1 1427 ax-ie2 1428 ax-8 1440 ax-10 1441 ax-11 1442 ax-i12 1443 ax-bndl 1444 ax-4 1445 ax-13 1449 ax-14 1450 ax-17 1464 ax-i9 1468 ax-ial 1472 ax-i5r 1473 ax-ext 2070 ax-coll 3954 ax-sep 3957 ax-nul 3965 ax-pow 4009 ax-pr 4036 ax-un 4260 ax-setind 4353 ax-iinf 4403 ax-cnex 7434 ax-resscn 7435 ax-1cn 7436 ax-1re 7437 ax-icn 7438 ax-addcl 7439 ax-addrcl 7440 ax-mulcl 7441 ax-mulrcl 7442 ax-addcom 7443 ax-mulcom 7444 ax-addass 7445 ax-mulass 7446 ax-distr 7447 ax-i2m1 7448 ax-0lt1 7449 ax-1rid 7450 ax-0id 7451 ax-rnegex 7452 ax-precex 7453 ax-cnre 7454 ax-pre-ltirr 7455 ax-pre-ltwlin 7456 ax-pre-lttrn 7457 ax-pre-apti 7458 ax-pre-ltadd 7459 ax-pre-mulgt0 7460 ax-pre-mulext 7461 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 781 df-3or 925 df-3an 926 df-tru 1292 df-fal 1295 df-nf 1395 df-sb 1693 df-eu 1951 df-mo 1952 df-clab 2075 df-cleq 2081 df-clel 2084 df-nfc 2217 df-ne 2256 df-nel 2351 df-ral 2364 df-rex 2365 df-reu 2366 df-rmo 2367 df-rab 2368 df-v 2621 df-sbc 2841 df-csb 2934 df-dif 3001 df-un 3003 df-in 3005 df-ss 3012 df-nul 3287 df-if 3394 df-pw 3431 df-sn 3452 df-pr 3453 df-op 3455 df-uni 3654 df-int 3689 df-iun 3732 df-br 3846 df-opab 3900 df-mpt 3901 df-tr 3937 df-id 4120 df-po 4123 df-iso 4124 df-iord 4193 df-on 4195 df-ilim 4196 df-suc 4198 df-iom 4406 df-xp 4444 df-rel 4445 df-cnv 4446 df-co 4447 df-dm 4448 df-rn 4449 df-res 4450 df-ima 4451 df-iota 4980 df-fun 5017 df-fn 5018 df-f 5019 df-f1 5020 df-fo 5021 df-f1o 5022 df-fv 5023 df-riota 5608 df-ov 5655 df-oprab 5656 df-mpt2 5657 df-1st 5911 df-2nd 5912 df-recs 6070 df-frec 6156 df-pnf 7522 df-mnf 7523 df-xr 7524 df-ltxr 7525 df-le 7526 df-sub 7653 df-neg 7654 df-reap 8050 df-ap 8057 df-div 8138 df-inn 8421 df-n0 8672 df-z 8749 df-uz 9018 df-iseq 9849 df-seq3 9850 df-exp 9951 |
This theorem is referenced by: expaddzap 9995 |
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