Theorem pncand 8645

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
pncand	|- ( ph -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		pncan 8539	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( ( A + B ) - B ) = A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   CCcc 8183   + caddc 8188   - cmin 8504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506

This theorem is used by:  mvlraddd  8697  mvlladdd  8698  mvrraddd  8699  addlsub  8703  pnpncand  8708  pncan1  8711  eluzmn  9944  icoshftf1o  10410  nnsplit  10561  uzsinds  10902  zesq  11117  ccatval3  11389  resqrexlemcalc2  11803  iser3shft  12137  fisumrev2  12238  fprodp1  12392  uzwodc  12839  hashdvds  13028  pythagtriplem4  13076  pythagtriplem6  13078  pythagtriplem7  13079  pythagtriplem12  13083  pythagtriplem14  13085  pcqdiv  13115  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemsgt1  13312  ballotfilemsel1i  13314  ballotfilemsima  13317  ballotfilem1ri  13336  ennnfonelemp1  13355  mulgdirlem  14015  gzsumshift  14239  blhalf  15634  dvply2g  15992  repiecele0  17281  trilpolemeq1  17296  trilpolemlt1  17297  nconstwlpolemgt0  17321