Theorem pncand 8399

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
pncand	|- ( ph -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		pncan 8293	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177  (class class class)co 5956   CCcc 7938   + caddc 7943   - cmin 8258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-setind 4592  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-sub 8260

This theorem is referenced by:  mvlraddd  8451  mvlladdd  8452  mvrraddd  8453  addlsub  8457  pnpncand  8462  pncan1  8464  icoshftf1o  10128  nnsplit  10274  uzsinds  10606  zesq  10820  ccatval3  11073  resqrexlemcalc2  11396  iser3shft  11727  fisumrev2  11827  fprodp1  11981  uzwodc  12428  hashdvds  12613  pythagtriplem4  12661  pythagtriplem6  12663  pythagtriplem7  12664  pythagtriplem12  12668  pythagtriplem14  12670  pcqdiv  12700  ennnfonelemp1  12847  mulgdirlem  13559  blhalf  14950  dvply2g  15308  trilpolemeq1  16114  trilpolemlt1  16115  nconstwlpolemgt0  16138