Theorem pncand 8404

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
pncand	|- ( ph -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		pncan 8298	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177  (class class class)co 5957   CCcc 7943   + caddc 7948   - cmin 8263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-setind 4593  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-sub 8265

This theorem is referenced by:  mvlraddd  8456  mvlladdd  8457  mvrraddd  8458  addlsub  8462  pnpncand  8467  pncan1  8469  icoshftf1o  10133  nnsplit  10279  uzsinds  10611  zesq  10825  ccatval3  11078  resqrexlemcalc2  11401  iser3shft  11732  fisumrev2  11832  fprodp1  11986  uzwodc  12433  hashdvds  12618  pythagtriplem4  12666  pythagtriplem6  12668  pythagtriplem7  12669  pythagtriplem12  12673  pythagtriplem14  12675  pcqdiv  12705  ennnfonelemp1  12852  mulgdirlem  13564  blhalf  14955  dvply2g  15313  trilpolemeq1  16120  trilpolemlt1  16121  nconstwlpolemgt0  16144