Theorem pncand 8638

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
pncand	|- ( ph -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		pncan 8532	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( ( A + B ) - B ) = A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   + caddc 8182   - cmin 8497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499

This theorem is used by:  mvlraddd  8690  mvlladdd  8691  mvrraddd  8692  addlsub  8696  pnpncand  8701  pncan1  8704  eluzmn  9928  icoshftf1o  10393  nnsplit  10544  uzsinds  10881  zesq  11096  ccatval3  11367  resqrexlemcalc2  11781  iser3shft  12112  fisumrev2  12213  fprodp1  12367  uzwodc  12814  hashdvds  12999  pythagtriplem4  13047  pythagtriplem6  13049  pythagtriplem7  13050  pythagtriplem12  13054  pythagtriplem14  13056  pcqdiv  13086  ballotfilemfc0  13232  ballotfilemfcc  13233  ballotfilemsgt1  13254  ballotfilemsel1i  13256  ballotfilemsima  13259  ballotfilem1ri  13278  ennnfonelemp1  13297  mulgdirlem  13956  gzsumshift  14149  blhalf  15509  dvply2g  15867  repiecele0  17075  trilpolemeq1  17089  trilpolemlt1  17090  nconstwlpolemgt0  17114