Theorem ghmnsgima 13719

Description: The image of a normal subgroup under a surjective homomorphism is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ghmnsgima.1	|- Y = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmnsgima	|- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( F " U ) e. (NrmSGrp ` T ) )

Proof of Theorem ghmnsgima

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
2		nsgsubg 13656	. . . 4 |- ( U e. (NrmSGrp ` S ) -> U e. (SubGrp ` S ) )
3	2	3ad2ant2 1022	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> U e. (SubGrp ` S ) )
4		ghmima 13716	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (SubGrp ` S ) ) -> ( F " U ) e. (SubGrp ` T ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( F " U ) e. (SubGrp ` T ) )
6	1	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
7		ghmgrp1 13696	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> S e. Grp )
9		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> z e. ( Base ` S ) )
10		eqid 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
11	10	subgss 13625	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. (SubGrp ` S ) -> U C_ ( Base ` S ) )
12	3, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> U C_ ( Base ` S ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> U C_ ( Base ` S ) )
14		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> x e. U )
15	13, 14	sseldd 3202	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
16		eqid 2207	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
17	10, 16	grpcl 13455	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ z e. ( Base ` S ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( z ( +g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) )
18	8, 9, 15, 17	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( z ( +g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) )
19		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( -g ` S ) = ( -g ` S )
20		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( -g ` T ) = ( -g ` T )
21	10, 19, 20	ghmsub 13702	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( z ( +g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) = ( ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
22	6, 18, 9, 21	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) = ( ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
23		eqid 2207	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
24	10, 16, 23	ghmlin 13699	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ z e. ( Base ` S ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) )
25	6, 9, 15, 24	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) )
26	25	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
27	22, 26	eqtrd 2240	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
28		ghmnsgima.1	. . . . . . . . . 10 |- Y = ( Base ` T )
29	10, 28	ghmf 13698	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> Y )
30	1, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> F : ( Base ` S ) --> Y )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> F : ( Base ` S ) --> Y )
32	31	ffnd 5446	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> F Fn ( Base ` S ) )
33		simpl2 1004	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> U e. (NrmSGrp ` S ) )
34	10, 16, 19	nsgconj 13657	. . . . . . 7 |- ( ( U e. (NrmSGrp ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) -> ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) e. U )
35	33, 9, 14, 34	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) e. U )
36		fnfvima 5842	. . . . . 6 |- ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ U C_ ( Base ` S ) /\ ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) e. U ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) e. ( F " U ) )
37	32, 13, 35, 36	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) e. ( F " U ) )
38	27, 37	eqeltrrd 2285	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) )
39	38	ralrimivva 2590	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> A. z e. ( Base ` S ) A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) )
40	30	ffnd 5446	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> F Fn ( Base ` S ) )
41		oveq1 5974	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` z ) -> ( x ( +g ` T ) y ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) )
42		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` z ) -> x = ( F ` z ) )
43	41, 42	oveq12d 5985	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
44	43	eleq1d 2276	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
45	44	ralbidv 2508	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` z ) -> ( A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
46	45	ralrn 5741	. . . . 5 |- ( F Fn ( Base ` S ) -> ( A. x e. ran F A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
47	40, 46	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. x e. ran F A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
48		simp3 1002	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ran F = Y )
49	48	raleqdv 2711	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. x e. ran F A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) ) )
50		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) )
51	50	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
52	51	eleq1d 2276	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
53	52	ralima 5847	. . . . . 6 |- ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ U C_ ( Base ` S ) ) -> ( A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
54	40, 12, 53	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
55	54	ralbidv 2508	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. z e. ( Base ` S ) A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
56	47, 49, 55	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
57	39, 56	mpbird 167	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) )
58	28, 23, 20	isnsg3 13658	. 2 |- ( ( F " U ) e. (NrmSGrp ` T ) <-> ( ( F " U ) e. (SubGrp ` T ) /\ A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) ) )
59	5, 57, 58	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( F " U ) e. (NrmSGrp ` T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   C_ wss 3174   ran crn 4694   "cima 4696   Fn wfn 5285   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   Grpcgrp 13447   -gcsg 13449  SubGrpcsubg 13618  NrmSGrpcnsg 13619   GrpHom cghm 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-sbg 13452  df-subg 13621  df-nsg 13622  df-ghm 13692

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