Theorem ghmnsgima 14021

Description: The image of a normal subgroup under a surjective homomorphism is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ghmnsgima.1	|- Y = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmnsgima	|- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( F " U ) e. (NrmSGrp ` T ) )

Proof of Theorem ghmnsgima

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
2		nsgsubg 13958	. . . 4 |- ( U e. (NrmSGrp ` S ) -> U e. (SubGrp ` S ) )
3	2	3ad2ant2 1046	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> U e. (SubGrp ` S ) )
4		ghmima 14018	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (SubGrp ` S ) ) -> ( F " U ) e. (SubGrp ` T ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( F " U ) e. (SubGrp ` T ) )
6	1	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
7		ghmgrp1 13998	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> S e. Grp )
9		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> z e. ( Base ` S ) )
10		eqid 2234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
11	10	subgss 13927	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. (SubGrp ` S ) -> U C_ ( Base ` S ) )
12	3, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> U C_ ( Base ` S ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> U C_ ( Base ` S ) )
14		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> x e. U )
15	13, 14	sseldd 3243	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
16		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
17	10, 16	grpcl 13763	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ z e. ( Base ` S ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( z ( +g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) )
18	8, 9, 15, 17	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( z ( +g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) )
19		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( -g ` S ) = ( -g ` S )
20		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( -g ` T ) = ( -g ` T )
21	10, 19, 20	ghmsub 14004	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( z ( +g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) = ( ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
22	6, 18, 9, 21	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) = ( ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
23		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
24	10, 16, 23	ghmlin 14001	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ z e. ( Base ` S ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) )
25	6, 9, 15, 24	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) )
26	25	oveq1d 6073	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
27	22, 26	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
28		ghmnsgima.1	. . . . . . . . . 10 |- Y = ( Base ` T )
29	10, 28	ghmf 14000	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> Y )
30	1, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> F : ( Base ` S ) --> Y )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> F : ( Base ` S ) --> Y )
32	31	ffnd 5514	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> F Fn ( Base ` S ) )
33		simpl2 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> U e. (NrmSGrp ` S ) )
34	10, 16, 19	nsgconj 13959	. . . . . . 7 |- ( ( U e. (NrmSGrp ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) -> ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) e. U )
35	33, 9, 14, 34	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) e. U )
36		fnfvima 5926	. . . . . 6 |- ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ U C_ ( Base ` S ) /\ ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) e. U ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) e. ( F " U ) )
37	32, 13, 35, 36	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) e. ( F " U ) )
38	27, 37	eqeltrrd 2312	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) )
39	38	ralrimivva 2626	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> A. z e. ( Base ` S ) A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) )
40	30	ffnd 5514	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> F Fn ( Base ` S ) )
41		oveq1 6065	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` z ) -> ( x ( +g ` T ) y ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) )
42		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` z ) -> x = ( F ` z ) )
43	41, 42	oveq12d 6076	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
44	43	eleq1d 2303	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
45	44	ralbidv 2544	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` z ) -> ( A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
46	45	ralrn 5820	. . . . 5 |- ( F Fn ( Base ` S ) -> ( A. x e. ran F A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
47	40, 46	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. x e. ran F A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
48		simp3 1026	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ran F = Y )
49	48	raleqdv 2749	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. x e. ran F A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) ) )
50		oveq2 6066	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) )
51	50	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
52	51	eleq1d 2303	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
53	52	ralima 5934	. . . . . 6 |- ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ U C_ ( Base ` S ) ) -> ( A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
54	40, 12, 53	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
55	54	ralbidv 2544	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. z e. ( Base ` S ) A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
56	47, 49, 55	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
57	39, 56	mpbird 167	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) )
58	28, 23, 20	isnsg3 13960	. 2 |- ( ( F " U ) e. (NrmSGrp ` T ) <-> ( ( F " U ) e. (SubGrp ` T ) /\ A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) ) )
59	5, 57, 58	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( F " U ) e. (NrmSGrp ` T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   ran crn 4755   "cima 4757   Fn wfn 5352   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   Grpcgrp 13755   -gcsg 13757  SubGrpcsubg 13920  NrmSGrpcnsg 13921   GrpHom cghm 13993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-sbg 13760  df-subg 13923  df-nsg 13924  df-ghm 13994

This theorem is referenced by: (None)