Theorem ghmnsgima 13398

Description: The image of a normal subgroup under a surjective homomorphism is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ghmnsgima.1	|- Y = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmnsgima	|- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( F " U ) e. (NrmSGrp ` T ) )

Proof of Theorem ghmnsgima

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
2		nsgsubg 13335	. . . 4 |- ( U e. (NrmSGrp ` S ) -> U e. (SubGrp ` S ) )
3	2	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> U e. (SubGrp ` S ) )
4		ghmima 13395	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (SubGrp ` S ) ) -> ( F " U ) e. (SubGrp ` T ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( F " U ) e. (SubGrp ` T ) )
6	1	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
7		ghmgrp1 13375	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> S e. Grp )
9		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> z e. ( Base ` S ) )
10		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
11	10	subgss 13304	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. (SubGrp ` S ) -> U C_ ( Base ` S ) )
12	3, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> U C_ ( Base ` S ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> U C_ ( Base ` S ) )
14		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> x e. U )
15	13, 14	sseldd 3184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
16		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
17	10, 16	grpcl 13140	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ z e. ( Base ` S ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( z ( +g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) )
18	8, 9, 15, 17	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( z ( +g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) )
19		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( -g ` S ) = ( -g ` S )
20		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( -g ` T ) = ( -g ` T )
21	10, 19, 20	ghmsub 13381	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( z ( +g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) = ( ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
22	6, 18, 9, 21	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) = ( ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
23		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
24	10, 16, 23	ghmlin 13378	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ z e. ( Base ` S ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) )
25	6, 9, 15, 24	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) )
26	25	oveq1d 5937	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( ( F ` ( z ( +g ` S ) x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
27	22, 26	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
28		ghmnsgima.1	. . . . . . . . . 10 |- Y = ( Base ` T )
29	10, 28	ghmf 13377	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> Y )
30	1, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> F : ( Base ` S ) --> Y )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> F : ( Base ` S ) --> Y )
32	31	ffnd 5408	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> F Fn ( Base ` S ) )
33		simpl2 1003	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> U e. (NrmSGrp ` S ) )
34	10, 16, 19	nsgconj 13336	. . . . . . 7 |- ( ( U e. (NrmSGrp ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) -> ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) e. U )
35	33, 9, 14, 34	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) e. U )
36		fnfvima 5797	. . . . . 6 |- ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ U C_ ( Base ` S ) /\ ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) e. U ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) e. ( F " U ) )
37	32, 13, 35, 36	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( F ` ( ( z ( +g ` S ) x ) ( -g ` S ) z ) ) e. ( F " U ) )
38	27, 37	eqeltrrd 2274	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) /\ ( z e. ( Base ` S ) /\ x e. U ) ) -> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) )
39	38	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> A. z e. ( Base ` S ) A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) )
40	30	ffnd 5408	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> F Fn ( Base ` S ) )
41		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` z ) -> ( x ( +g ` T ) y ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) )
42		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` z ) -> x = ( F ` z ) )
43	41, 42	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
44	43	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
45	44	ralbidv 2497	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` z ) -> ( A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
46	45	ralrn 5700	. . . . 5 |- ( F Fn ( Base ` S ) -> ( A. x e. ran F A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
47	40, 46	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. x e. ran F A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
48		simp3 1001	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ran F = Y )
49	48	raleqdv 2699	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. x e. ran F A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) ) )
50		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) = ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) )
51	50	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
52	51	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
53	52	ralima 5802	. . . . . 6 |- ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ U C_ ( Base ` S ) ) -> ( A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
54	40, 12, 53	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
55	54	ralbidv 2497	. . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. z e. ( Base ` S ) A. y e. ( F " U ) ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
56	47, 49, 55	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) <-> A. z e. ( Base ` S ) A. x e. U ( ( ( F ` z ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) e. ( F " U ) ) )
57	39, 56	mpbird 167	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) )
58	28, 23, 20	isnsg3 13337	. 2 |- ( ( F " U ) e. (NrmSGrp ` T ) <-> ( ( F " U ) e. (SubGrp ` T ) /\ A. x e. Y A. y e. ( F " U ) ( ( x ( +g ` T ) y ) ( -g ` T ) x ) e. ( F " U ) ) )
59	5, 57, 58	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ U e. (NrmSGrp ` S ) /\ ran F = Y ) -> ( F " U ) e. (NrmSGrp ` T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ran crn 4664   "cima 4666   Fn wfn 5253   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   Grpcgrp 13132   -gcsg 13134  SubGrpcsubg 13297  NrmSGrpcnsg 13298   GrpHom cghm 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-subg 13300  df-nsg 13301  df-ghm 13371

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