Theorem ecqusaddcl 13906

Description: Closure of the addition in a quotient group. (Contributed by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecqusaddd.i	|- ( ph -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
ecqusaddd.b	|- B = ( Base ` R )
ecqusaddd.g	|- .~ = ( R ~QG I )
ecqusaddd.q	|- Q = ( R /.s .~ )

Assertion

Ref	Expression
ecqusaddcl	|- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) e. ( Base ` Q ) )

Proof of Theorem ecqusaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqusaddd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
2		ecqusaddd.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		ecqusaddd.g	. . 3 |- .~ = ( R ~QG I )
4		ecqusaddd.q	. . 3 |- Q = ( R /.s .~ )
5	1, 2, 3, 4	ecqusaddd 13905	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ = ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) )
6		nsgsubg 13872	. . . . 5 |- ( I e. (NrmSGrp ` R ) -> I e. (SubGrp ` R ) )
7		subgrcl 13846	. . . . 5 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> R e. Grp )
8	1, 6, 7	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> R e. Grp )
10	8	anim1i 340	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( R e. Grp /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) )
11		3anass 1009	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) <-> ( R e. Grp /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) )
13		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
14	2, 13	grpcl 13671	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) -> ( A ( +g ` R ) C ) e. B )
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( A ( +g ` R ) C ) e. B )
16	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
17		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
18	3, 4, 2, 17	quseccl0g 13898	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ ( A ( +g ` R ) C ) e. B /\ I e. (NrmSGrp ` R ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ e. ( Base ` Q ) )
19	9, 15, 16, 18	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ e. ( Base ` Q ) )
20	5, 19	eqeltrrd 2309	1 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) e. ( Base ` Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   [cec 6743   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   /._s cqus 13463   Grpcgrp 13663  SubGrpcsubg 13834  NrmSGrpcnsg 13835   ~_QG cqg 13836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-iress 13170  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-0g 13421  df-iimas 13465  df-qus 13466  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-subg 13837  df-nsg 13838  df-eqg 13839

This theorem is referenced by: (None)