Theorem ecqusaddcl 13203

Description: Closure of the addition in a quotient group. (Contributed by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecqusaddd.i	|- ( ph -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
ecqusaddd.b	|- B = ( Base ` R )
ecqusaddd.g	|- .~ = ( R ~QG I )
ecqusaddd.q	|- Q = ( R /.s .~ )

Assertion

Ref	Expression
ecqusaddcl	|- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) e. ( Base ` Q ) )

Proof of Theorem ecqusaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqusaddd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
2		ecqusaddd.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		ecqusaddd.g	. . 3 |- .~ = ( R ~QG I )
4		ecqusaddd.q	. . 3 |- Q = ( R /.s .~ )
5	1, 2, 3, 4	ecqusaddd 13202	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ = ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) )
6		nsgsubg 13169	. . . . 5 |- ( I e. (NrmSGrp ` R ) -> I e. (SubGrp ` R ) )
7		subgrcl 13143	. . . . 5 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> R e. Grp )
8	1, 6, 7	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> R e. Grp )
10	8	anim1i 340	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( R e. Grp /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) )
11		3anass 984	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) <-> ( R e. Grp /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) )
13		eqid 2189	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
14	2, 13	grpcl 12976	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) -> ( A ( +g ` R ) C ) e. B )
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( A ( +g ` R ) C ) e. B )
16	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
17		eqid 2189	. . . 4 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
18	3, 4, 2, 17	quseccl0g 13195	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ ( A ( +g ` R ) C ) e. B /\ I e. (NrmSGrp ` R ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ e. ( Base ` Q ) )
19	9, 15, 16, 18	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ e. ( Base ` Q ) )
20	5, 19	eqeltrrd 2267	1 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) e. ( Base ` Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   [cec 6561   Basecbs 12523   +g cplusg 12600   /._s cqus 12788   Grpcgrp 12968  SubGrpcsubg 13131  NrmSGrpcnsg 13132   ~_QG cqg 13133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-tp 3618  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-er 6563  df-ec 6565  df-qs 6569  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-iress 12531  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-0g 12774  df-iimas 12790  df-qus 12791  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-subg 13134  df-nsg 13135  df-eqg 13136

This theorem is referenced by: (None)