Theorem ecqusaddcl 13445

Description: Closure of the addition in a quotient group. (Contributed by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecqusaddd.i	|- ( ph -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
ecqusaddd.b	|- B = ( Base ` R )
ecqusaddd.g	|- .~ = ( R ~QG I )
ecqusaddd.q	|- Q = ( R /.s .~ )

Assertion

Ref	Expression
ecqusaddcl	|- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) e. ( Base ` Q ) )

Proof of Theorem ecqusaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqusaddd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
2		ecqusaddd.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		ecqusaddd.g	. . 3 |- .~ = ( R ~QG I )
4		ecqusaddd.q	. . 3 |- Q = ( R /.s .~ )
5	1, 2, 3, 4	ecqusaddd 13444	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ = ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) )
6		nsgsubg 13411	. . . . 5 |- ( I e. (NrmSGrp ` R ) -> I e. (SubGrp ` R ) )
7		subgrcl 13385	. . . . 5 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> R e. Grp )
8	1, 6, 7	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> R e. Grp )
10	8	anim1i 340	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( R e. Grp /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) )
11		3anass 984	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) <-> ( R e. Grp /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) )
13		eqid 2196	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
14	2, 13	grpcl 13210	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) -> ( A ( +g ` R ) C ) e. B )
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( A ( +g ` R ) C ) e. B )
16	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
17		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
18	3, 4, 2, 17	quseccl0g 13437	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ ( A ( +g ` R ) C ) e. B /\ I e. (NrmSGrp ` R ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ e. ( Base ` Q ) )
19	9, 15, 16, 18	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ e. ( Base ` Q ) )
20	5, 19	eqeltrrd 2274	1 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) e. ( Base ` Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   [cec 6599   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   /._s cqus 13002   Grpcgrp 13202  SubGrpcsubg 13373  NrmSGrpcnsg 13374   ~_QG cqg 13375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-iimas 13004  df-qus 13005  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-subg 13376  df-nsg 13377  df-eqg 13378

This theorem is referenced by: (None)