Theorem ecqusaddcl 13992

Description: Closure of the addition in a quotient group. (Contributed by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecqusaddd.i	|- ( ph -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
ecqusaddd.b	|- B = ( Base ` R )
ecqusaddd.g	|- .~ = ( R ~QG I )
ecqusaddd.q	|- Q = ( R /.s .~ )

Assertion

Ref	Expression
ecqusaddcl	|- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) e. ( Base ` Q ) )

Proof of Theorem ecqusaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqusaddd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
2		ecqusaddd.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		ecqusaddd.g	. . 3 |- .~ = ( R ~QG I )
4		ecqusaddd.q	. . 3 |- Q = ( R /.s .~ )
5	1, 2, 3, 4	ecqusaddd 13991	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ = ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) )
6		nsgsubg 13958	. . . . 5 |- ( I e. (NrmSGrp ` R ) -> I e. (SubGrp ` R ) )
7		subgrcl 13932	. . . . 5 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> R e. Grp )
8	1, 6, 7	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> R e. Grp )
10	8	anim1i 340	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( R e. Grp /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) )
11		3anass 1009	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) <-> ( R e. Grp /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) )
13		eqid 2234	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
14	2, 13	grpcl 13763	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ A e. B /\ C e. B ) -> ( A ( +g ` R ) C ) e. B )
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( A ( +g ` R ) C ) e. B )
16	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
17		eqid 2234	. . . 4 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
18	3, 4, 2, 17	quseccl0g 13984	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ ( A ( +g ` R ) C ) e. B /\ I e. (NrmSGrp ` R ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ e. ( Base ` Q ) )
19	9, 15, 16, 18	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> [ ( A ( +g ` R ) C ) ] .~ e. ( Base ` Q ) )
20	5, 19	eqeltrrd 2312	1 |- ( ( ph /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( [ A ] .~ ( +g ` Q ) [ C ] .~ ) e. ( Base ` Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   [cec 6778   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   /._s cqus 13566   Grpcgrp 13755  SubGrpcsubg 13920  NrmSGrpcnsg 13921   ~_QG cqg 13922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-iimas 13567  df-qus 13568  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-subg 13923  df-nsg 13924  df-eqg 13925

This theorem is referenced by: (None)