Theorem ghmnsgpreima 13720

Description: The inverse image of a normal subgroup under a homomorphism is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ghmnsgpreima	|- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) -> ( `' F " V ) e. (NrmSGrp ` S ) )

Proof of Theorem ghmnsgpreima

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13656	. . 3 |- ( V e. (NrmSGrp ` T ) -> V e. (SubGrp ` T ) )
2		ghmpreima 13717	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (SubGrp ` T ) ) -> ( `' F " V ) e. (SubGrp ` S ) )
3	1, 2	sylan2 286	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) -> ( `' F " V ) e. (SubGrp ` S ) )
4		ghmgrp1 13696	. . . . . 6 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> S e. Grp )
6		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
7		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> y e. ( `' F " V ) )
8		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
9		eqid 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
10		eqid 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
11	9, 10	ghmf 13698	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
12	8, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
13	12	ffnd 5446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> F Fn ( Base ` S ) )
14		elpreima 5722	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( Base ` S ) -> ( y e. ( `' F " V ) <-> ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. V ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( y e. ( `' F " V ) <-> ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. V ) ) )
16	7, 15	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) e. V ) )
17	16	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
18		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
19	9, 18	grpcl 13455	. . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
20	5, 6, 17, 19	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
21		eqid 2207	. . . . . 6 |- ( -g ` S ) = ( -g ` S )
22	9, 21	grpsubcl 13527	. . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) )
23	5, 20, 6, 22	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) )
24		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( -g ` T ) = ( -g ` T )
25	9, 21, 24	ghmsub 13702	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) ) = ( ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ( -g ` T ) ( F ` x ) ) )
26	8, 20, 6, 25	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( F ` ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) ) = ( ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ( -g ` T ) ( F ` x ) ) )
27		eqid 2207	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
28	9, 18, 27	ghmlin 13699	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) )
29	8, 6, 17, 28	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) )
30	29	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ( -g ` T ) ( F ` x ) ) = ( ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) ( -g ` T ) ( F ` x ) ) )
31	26, 30	eqtrd 2240	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( F ` ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) ) = ( ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) ( -g ` T ) ( F ` x ) ) )
32		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> V e. (NrmSGrp ` T ) )
33	12, 6	ffvelcdmd 5739	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` T ) )
34	16	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( F ` y ) e. V )
35	10, 27, 24	nsgconj 13657	. . . . . 6 |- ( ( V e. (NrmSGrp ` T ) /\ ( F ` x ) e. ( Base ` T ) /\ ( F ` y ) e. V ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) ( -g ` T ) ( F ` x ) ) e. V )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) ( -g ` T ) ( F ` x ) ) e. V )
37	31, 36	eqeltrd 2284	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( F ` ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) ) e. V )
38		elpreima 5722	. . . . 5 |- ( F Fn ( Base ` S ) -> ( ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) e. ( `' F " V ) <-> ( ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) /\ ( F ` ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) ) e. V ) ) )
39	13, 38	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) e. ( `' F " V ) <-> ( ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) e. ( Base ` S ) /\ ( F ` ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) ) e. V ) ) )
40	23, 37, 39	mpbir2and 947	. . 3 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( `' F " V ) ) ) -> ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) e. ( `' F " V ) )
41	40	ralrimivva 2590	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) -> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( `' F " V ) ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) e. ( `' F " V ) )
42	9, 18, 21	isnsg3 13658	. 2 |- ( ( `' F " V ) e. (NrmSGrp ` S ) <-> ( ( `' F " V ) e. (SubGrp ` S ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( `' F " V ) ( ( x ( +g ` S ) y ) ( -g ` S ) x ) e. ( `' F " V ) ) )
43	3, 41, 42	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ V e. (NrmSGrp ` T ) ) -> ( `' F " V ) e. (NrmSGrp ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   `'ccnv 4692   "cima 4696   Fn wfn 5285   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   Grpcgrp 13447   -gcsg 13449  SubGrpcsubg 13618  NrmSGrpcnsg 13619   GrpHom cghm 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-sbg 13452  df-subg 13621  df-nsg 13622  df-ghm 13692

This theorem is referenced by:  ghmker  13721