Theorem nsgsubg 13943

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2234	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 13940	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 274	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  SubGrpcsubg 13905  NrmSGrpcnsg 13906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9243  df-2 9301  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-subg 13908  df-nsg 13909

This theorem is referenced by:  nsgconj  13944  isnsg3  13945  trivnsgd  13955  eqgcpbl  13966  qusgrp  13970  quseccl  13971  qusadd  13972  qus0  13973  qusinv  13974  qussub  13975  ecqusaddcl  13977  ghmnsgima  14006  ghmnsgpreima  14007  conjnsg  14019  qusghm  14020