Theorem quseccl 13765

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	|- H = ( G /.s ( G ~QG S ) )
qusadd.v	|- V = ( Base ` G )
quseccl.b	|- B = ( Base ` H )

Assertion

Ref	Expression
quseccl	|- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )

Proof of Theorem quseccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13737	. . . 4 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		subgrcl 13711	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> G e. Grp )
5		simpr 110	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> X e. V )
6		simpl 109	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> S e. (NrmSGrp ` G ) )
7		eqid 2229	. . 3 |- ( G ~QG S ) = ( G ~QG S )
8		qusgrp.h	. . 3 |- H = ( G /.s ( G ~QG S ) )
9		qusadd.v	. . 3 |- V = ( Base ` G )
10		quseccl.b	. . 3 |- B = ( Base ` H )
11	7, 8, 9, 10	quseccl0g 13763	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. V /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )
12	4, 5, 6, 11	syl3anc 1271	1 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   [cec 6676   Basecbs 13027   /._s cqus 13328   Grpcgrp 13528  SubGrpcsubg 13699  NrmSGrpcnsg 13700   ~_QG cqg 13701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-ec 6680  df-qs 6684  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-iimas 13330  df-qus 13331  df-subg 13702  df-nsg 13703  df-eqg 13704

This theorem is referenced by:  qus0  13767  qusinv  13768  qussub  13769  qusghm  13814