Theorem quseccl 14013

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	|- H = ( G /.s ( G ~QG S ) )
qusadd.v	|- V = ( Base ` G )
quseccl.b	|- B = ( Base ` H )

Assertion

Ref	Expression
quseccl	|- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )

Proof of Theorem quseccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13985	. . . 4 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		subgrcl 13959	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> G e. Grp )
5		simpr 110	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> X e. V )
6		simpl 109	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> S e. (NrmSGrp ` G ) )
7		eqid 2238	. . 3 |- ( G ~QG S ) = ( G ~QG S )
8		qusgrp.h	. . 3 |- H = ( G /.s ( G ~QG S ) )
9		qusadd.v	. . 3 |- V = ( Base ` G )
10		quseccl.b	. . 3 |- B = ( Base ` H )
11	7, 8, 9, 10	quseccl0g 14011	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. V /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )
12	4, 5, 6, 11	syl3anc 1278	1 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   [cec 6795   Basecbs 13330   /._s cqus 13600   Grpcgrp 13782  SubGrpcsubg 13947  NrmSGrpcnsg 13948   ~_QG cqg 13949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-ec 6799  df-qs 6803  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-iimas 13601  df-qus 13602  df-subg 13950  df-nsg 13951  df-eqg 13952

This theorem is referenced by:  qus0  14015  qusinv  14016  qussub  14017  qusghm  14062