Theorem quseccl 13303

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	|- H = ( G /.s ( G ~QG S ) )
qusadd.v	|- V = ( Base ` G )
quseccl.b	|- B = ( Base ` H )

Assertion

Ref	Expression
quseccl	|- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )

Proof of Theorem quseccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13275	. . . 4 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		subgrcl 13249	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> G e. Grp )
5		simpr 110	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> X e. V )
6		simpl 109	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> S e. (NrmSGrp ` G ) )
7		eqid 2193	. . 3 |- ( G ~QG S ) = ( G ~QG S )
8		qusgrp.h	. . 3 |- H = ( G /.s ( G ~QG S ) )
9		qusadd.v	. . 3 |- V = ( Base ` G )
10		quseccl.b	. . 3 |- B = ( Base ` H )
11	7, 8, 9, 10	quseccl0g 13301	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. V /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )
12	4, 5, 6, 11	syl3anc 1249	1 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   [cec 6585   Basecbs 12618   /._s cqus 12883   Grpcgrp 13072  SubGrpcsubg 13237  NrmSGrpcnsg 13238   ~_QG cqg 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-ec 6589  df-qs 6593  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-iimas 12885  df-qus 12886  df-subg 13240  df-nsg 13241  df-eqg 13242

This theorem is referenced by:  qus0  13305  qusinv  13306  qussub  13307  qusghm  13352