Theorem quseccl 13197

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	|- H = ( G /.s ( G ~QG S ) )
qusadd.v	|- V = ( Base ` G )
quseccl.b	|- B = ( Base ` H )

Assertion

Ref	Expression
quseccl	|- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )

Proof of Theorem quseccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13169	. . . 4 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		subgrcl 13143	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> G e. Grp )
5		simpr 110	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> X e. V )
6		simpl 109	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> S e. (NrmSGrp ` G ) )
7		eqid 2189	. . 3 |- ( G ~QG S ) = ( G ~QG S )
8		qusgrp.h	. . 3 |- H = ( G /.s ( G ~QG S ) )
9		qusadd.v	. . 3 |- V = ( Base ` G )
10		quseccl.b	. . 3 |- B = ( Base ` H )
11	7, 8, 9, 10	quseccl0g 13195	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. V /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )
12	4, 5, 6, 11	syl3anc 1249	1 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ X e. V ) -> [ X ] ( G ~QG S ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   [cec 6561   Basecbs 12523   /._s cqus 12788   Grpcgrp 12968  SubGrpcsubg 13131  NrmSGrpcnsg 13132   ~_QG cqg 13133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-tp 3618  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-ec 6565  df-qs 6569  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-iimas 12790  df-qus 12791  df-subg 13134  df-nsg 13135  df-eqg 13136

This theorem is referenced by:  qus0  13199  qusinv  13200  qussub  13201  qusghm  13246