Theorem nummul1c 9344

Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
nummul1c.8	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
nummul1c.9	⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
nummul1c	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		nummul1c.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		nummul1c.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		nummul1c.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 9308	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2230	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
7		nummul1c.2	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
8	6, 7	num0u 9306	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
9		0nn0 9106	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	2, 9	num0h 9307	. . 3 ⊢ 0 = ((𝑇 · 0) + 0)
11		nummul1c.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12		nummul1c.7	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
13	12	nn0cni 9103	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ ℂ
14	13	addid2i 8019	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐸) = 𝐸
15	14	oveq2i 5836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸)
16		nummul1c.8	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
17	15, 16	eqtri 2178	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = 𝐶
18	4, 7	num0u 9306	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝐵 · 𝑃) + 0)
19		nummul1c.9	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
20	18, 19	eqtr3i 2180	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
21	2, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20	nummac 9340	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
22	8, 21	eqtri 2178	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Syntax hints:   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  (class class class)co 5825  0cc0 7733   + caddc 7736   · cmul 7738  ℕ₀cn0 9091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-sub 8049  df-inn 8835  df-n0 9092

This theorem is referenced by:  nummul2c  9345  decmul1  9359  decmul1c  9360