ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nummul1c GIF version

Theorem nummul1c 8894
Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7 𝐸 ∈ ℕ0
nummul1c.8 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
nummul1c.9 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
Assertion
Ref Expression
nummul1c (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul1c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 nummul1c.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
3 nummul1c.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
4 nummul1c.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 8858 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2160 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
7 nummul1c.2 . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
86, 7num0u 8856 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
9 0nn0 8658 . . 3 0 ∈ ℕ0
102, 9num0h 8857 . . 3 0 = ((𝑇 · 0) + 0)
11 nummul1c.6 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
12 nummul1c.7 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
1312nn0cni 8655 . . . . . 6 𝐸 ∈ ℂ
1413addid2i 7604 . . . . 5 (0 + 𝐸) = 𝐸
1514oveq2i 5645 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸)
16 nummul1c.8 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
1715, 16eqtri 2108 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = 𝐶
184, 7num0u 8856 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = ((𝐵 · 𝑃) + 0)
19 nummul1c.9 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
2018, 19eqtr3i 2110 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
212, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20nummac 8890 . 2 ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
228, 21eqtri 2108 1 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1289  wcel 1438  (class class class)co 5634  0cc0 7329   + caddc 7332   · cmul 7334  0cn0 8643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-sub 7634  df-inn 8395  df-n0 8644
This theorem is referenced by:  nummul2c  8895  decmul1  8909  decmul1c  8910
  Copyright terms: Public domain W3C validator