Theorem p0ex 4327

Description: The power set of the empty set (the ordinal 1) is a set. (Contributed by NM, 23-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
p0ex	⊢ {∅} ∈ V

Proof of Theorem p0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 3862	. 2 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
2		0ex 4262	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	pwex 4322	. 2 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ V
4	1, 3	eqeltrri 2312	1 ⊢ {∅} ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688  {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715

This theorem is used by:  pp0ex  4328  undifexmid  4332  exmidexmid  4335  exmidundif  4345  exmidundifim  4346  exmid1stab  4347  ordtriexmidlem  4668  ontr2exmid  4674  onsucsssucexmid  4676  onsucelsucexmid  4679  regexmidlemm  4681  ordsoexmid  4711  ordtri2or2exmid  4720  ontri2orexmidim  4721  opthprc  4828  acexmidlema  6079  acexmidlem2  6085  tposexg  6533  2dom  7097  map1  7105  endisj  7126  ssfiexmid  7182  ssfiexmidt  7184  domfiexmid  7186  exmidpw  7219  exmidpw2en  7223  djuex  7389  exmidomni  7488  exmidonfinlem  7551  exmidfodomrlemr  7560  exmidfodomrlemrALT  7561  exmidaclem  7570  pw1dom2  7592  pw1ne1  7594  wexmiddiffilem  17248  sbthom  17277