Theorem plendxnocndx 13516

Description: The slot for the orthocomplementation is not the slot for the order in an extensible structure. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnocndx	⊢ (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)

Proof of Theorem plendxnocndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10re 9749	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℝ
2		1nn0 9533	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		0nn0 9532	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		1nn 9269	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		0lt1 8418	. . . 4 ⊢ 0 < 1
6	2, 3, 4, 5	declt 9758	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
7	1, 6	ltneii 8387	. 2 ⊢ ;10 ≠ ;11
8		plendx 13502	. . 3 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		ocndx 13513	. . 3 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
10	8, 9	neeq12i 2431	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;11)
11	7, 10	mpbir 146	1 ⊢ (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2414  ‘cfv 5358  0cc0 8144  1c1 8145  ;cdc 9731  ndxcnx 13298  lecple 13386  occoc 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-ltxr 8330  df-sub 8464  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-dec 9732  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-ple 13399  df-ocomp 13400

This theorem is referenced by: (None)