Theorem plendxnocndx 13302

Description: The slot for the orthocomplementation is not the slot for the order in an extensible structure. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnocndx	⊢ (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)

Proof of Theorem plendxnocndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10re 9629	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℝ
2		1nn0 9418	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		0nn0 9417	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		1nn 9154	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		0lt1 8306	. . . 4 ⊢ 0 < 1
6	2, 3, 4, 5	declt 9638	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
7	1, 6	ltneii 8276	. 2 ⊢ ;10 ≠ ;11
8		plendx 13288	. . 3 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		ocndx 13299	. . 3 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
10	8, 9	neeq12i 2419	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;11)
11	7, 10	mpbir 146	1 ⊢ (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2402  ‘cfv 5326  0cc0 8032  1c1 8033  ;cdc 9611  ndxcnx 13084  lecple 13172  occoc 13173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-ple 13185  df-ocomp 13186

This theorem is referenced by: (None)