Theorem prarloclem4 7778

Description: A slight rearrangement of prarloclem3 7777. Lemma for prarloc 7783. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem4	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝐿,𝑥,𝑦   𝑃,𝑗,𝑥,𝑦   𝑈,𝑗,𝑥,𝑦

Proof of Theorem prarloclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloclem3 7777	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
2	1	3expia 1232	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
3	2	ancom2s 568	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑃 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ ω)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4	3	anassrs 400	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5	4	rexlimdva 2651	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512  ⟨cop 3676  ωcom 4694  (class class class)co 6028  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   +_o coa 6622  [cec 6743   ~_Q ceq 7559  Qcnq 7560   +_Q cplq 7562   ·_Q cmq 7563   ~_Q0 ceq0 7566   +_Q0 cplq0 7569   ·_Q0 cmq0 7570  Pcnp 7571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7584  df-pli 7585  df-mi 7586  df-lti 7587  df-plpq 7624  df-mpq 7625  df-enq 7627  df-nqqs 7628  df-plqqs 7629  df-mqqs 7630  df-ltnqqs 7633  df-enq0 7704  df-nq0 7705  df-plq0 7707  df-mq0 7708  df-inp 7746

This theorem is referenced by:  prarloclem  7781