Theorem prarloclem4 7499

Description: A slight rearrangement of prarloclem3 7498. Lemma for prarloc 7504. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem4	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝐿,𝑥,𝑦   𝑃,𝑗,𝑥,𝑦   𝑈,𝑗,𝑥,𝑦

Proof of Theorem prarloclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloclem3 7498	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
2	1	3expia 1205	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
3	2	ancom2s 566	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑃 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ ω)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4	3	anassrs 400	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5	4	rexlimdva 2594	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  ⟨cop 3597  ωcom 4591  (class class class)co 5877  1_oc1o 6412  2_oc2o 6413   +_o coa 6416  [cec 6535   ~_Q ceq 7280  Qcnq 7281   +_Q cplq 7283   ·_Q cmq 7284   ~_Q0 ceq0 7287   +_Q0 cplq0 7290   ·_Q0 cmq0 7291  Pcnp 7292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467

This theorem is referenced by:  prarloclem  7502