Theorem prarloclem3 7305

Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7311. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem3	|- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )

Distinct variable groups:   A, j, y   j, L, y   P, j, y   U, j, y   y, X

Allowed substitution hint:   X( j)

Proof of Theorem prarloclem3

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 520	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> X e. om )
2		simpll 518	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> <. L , U >. e. P. )
3		simplr 519	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> A e. L )
4		simprr 521	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> P e. Q. )
5		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
6	5	opeq1d 3711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
7	6	eceq1d 6465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
8	7	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
9	8	oveq2d 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
10	9	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
11	10	anbi2d 459	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
12	11	rexbidv 2438	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
13	12	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
14	13	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) ) )
15		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o (/) ) )
16	15	opeq1d 3711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. )
17	16	eceq1d 6465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q )
18	17	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
19	18	oveq2d 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
20	19	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
21	20	anbi2d 459	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
22	21	rexbidv 2438	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
23	22	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
24		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o z ) )
25	24	opeq1d 3711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. )
26	25	eceq1d 6465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q )
27	26	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
28	27	oveq2d 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
29	28	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
30	29	anbi2d 459	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
31	30	rexbidv 2438	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
32	31	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
33		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc z -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o suc z ) )
34	33	opeq1d 3711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc z -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. )
35	34	eceq1d 6465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc z -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q )
36	35	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc z -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
37	36	oveq2d 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc z -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
38	37	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc z -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
39	38	anbi2d 459	. . . . . . . 8 |- ( x = suc z -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
40	39	rexbidv 2438	. . . . . . 7 |- ( x = suc z -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
41	40	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x = suc z -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
42		2onn 6417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2o e. om
43		nnacl 6376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( y +o 2o ) e. om )
44		nna0 6370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y +o 2o ) e. om -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
46	42, 45	mpan2 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. om -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
47	46	opeq1d 3711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. = <. ( y +o 2o ) , 1o >. )
48	47	eceq1d 6465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q )
49	48	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
50	49	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
51	50	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
52	51	anbi2d 459	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
53	52	rexbiia 2450	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
54		opeq1 3705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> <. y , 1o >. = <. j , 1o >. )
55	54	eceq1d 6465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> [ <. y , 1o >. ] ~Q0 = [ <. j , 1o >. ] ~Q0 )
56	55	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = j -> ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
57	56	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = j -> ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
58	57	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = j -> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
59		oveq1 5781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = j -> ( y +o 2o ) = ( j +o 2o ) )
60	59	opeq1d 3711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> <. ( y +o 2o ) , 1o >. = <. ( j +o 2o ) , 1o >. )
61	60	eceq1d 6465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q )
62	61	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = j -> ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
63	62	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = j -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
64	63	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = j -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
65	58, 64	anbi12d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( y = j -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
66	65	cbvrexv 2655	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
67	53, 66	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
68	67	biimpi 119	. . . . . . 7 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
69	68	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
70		prarloclem3step 7304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
71	70	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
72	71	imim1d 75	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
73	72	ex 114	. . . . . 6 |- ( z e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) ) )
74	23, 32, 41, 69, 73	finds2 4515	. . . . 5 |- ( x e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
75	14, 74	vtoclga 2752	. . . 4 |- ( X e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
76	75	imp 123	. . 3 |- ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 76	syl13anc 1218	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
78	77	3impia 1178	1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   (/)c0 3363   <.cop 3530   suc csuc 4287   omcom 4504  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   2oc2o 6307   +o coa 6310   [cec 6427   ~Q ceq 7087   Q.cnq 7088   +Q cplq 7090   .Q cmq 7091   ~_Q0 ceq0 7094   +_Q0 cplq0 7097   ·_Q0 cmq0 7098   P.cnp 7099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274

This theorem is referenced by:  prarloclem4  7306