Theorem prarloclem3 7459

Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7465. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem3	|- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )

Distinct variable groups:   A, j, y   j, L, y   P, j, y   U, j, y   y, X

Allowed substitution hint:   X( j)

Proof of Theorem prarloclem3

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 526	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> X e. om )
2		simpll 524	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> <. L , U >. e. P. )
3		simplr 525	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> A e. L )
4		simprr 527	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> P e. Q. )
5		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
6	5	opeq1d 3771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
7	6	eceq1d 6549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
8	7	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
9	8	oveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
10	9	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
11	10	anbi2d 461	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
12	11	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
13	12	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
14	13	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) ) )
15		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o (/) ) )
16	15	opeq1d 3771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. )
17	16	eceq1d 6549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q )
18	17	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
19	18	oveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
20	19	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
21	20	anbi2d 461	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
22	21	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
23	22	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
24		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o z ) )
25	24	opeq1d 3771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. )
26	25	eceq1d 6549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q )
27	26	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
28	27	oveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
29	28	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
30	29	anbi2d 461	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
31	30	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
32	31	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
33		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc z -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o suc z ) )
34	33	opeq1d 3771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc z -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. )
35	34	eceq1d 6549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc z -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q )
36	35	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc z -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
37	36	oveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc z -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
38	37	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc z -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
39	38	anbi2d 461	. . . . . . . 8 |- ( x = suc z -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
40	39	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( x = suc z -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
41	40	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x = suc z -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
42		2onn 6500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2o e. om
43		nnacl 6459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( y +o 2o ) e. om )
44		nna0 6453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y +o 2o ) e. om -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
46	42, 45	mpan2 423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. om -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
47	46	opeq1d 3771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. = <. ( y +o 2o ) , 1o >. )
48	47	eceq1d 6549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q )
49	48	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
50	49	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
51	50	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
52	51	anbi2d 461	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
53	52	rexbiia 2485	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
54		opeq1 3765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> <. y , 1o >. = <. j , 1o >. )
55	54	eceq1d 6549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> [ <. y , 1o >. ] ~Q0 = [ <. j , 1o >. ] ~Q0 )
56	55	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = j -> ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
57	56	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = j -> ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
58	57	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = j -> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
59		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = j -> ( y +o 2o ) = ( j +o 2o ) )
60	59	opeq1d 3771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> <. ( y +o 2o ) , 1o >. = <. ( j +o 2o ) , 1o >. )
61	60	eceq1d 6549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q )
62	61	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = j -> ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
63	62	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = j -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
64	63	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = j -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
65	58, 64	anbi12d 470	. . . . . . . . . 10 |- ( y = j -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
66	65	cbvrexv 2697	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
67	53, 66	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
68	67	biimpi 119	. . . . . . 7 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
69	68	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
70		prarloclem3step 7458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
71	70	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
72	71	imim1d 75	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
73	72	ex 114	. . . . . 6 |- ( z e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) ) )
74	23, 32, 41, 69, 73	finds2 4585	. . . . 5 |- ( x e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
75	14, 74	vtoclga 2796	. . . 4 |- ( X e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
76	75	imp 123	. . 3 |- ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 76	syl13anc 1235	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
78	77	3impia 1195	1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   (/)c0 3414   <.cop 3586   suc csuc 4350   omcom 4574  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   +o coa 6392   [cec 6511   ~Q ceq 7241   Q.cnq 7242   +Q cplq 7244   .Q cmq 7245   ~_Q0 ceq0 7248   +_Q0 cplq0 7251   ·_Q0 cmq0 7252   P.cnp 7253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428

This theorem is referenced by:  prarloclem4  7460