Theorem prarloclem3 7814

Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7820. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem3	|- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )

Distinct variable groups:   A, j, y   j, L, y   P, j, y   U, j, y   y, X

Allowed substitution hint:   X( j)

Proof of Theorem prarloclem3

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> X e. om )
2		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> <. L , U >. e. P. )
3		simplr 529	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> A e. L )
4		simprr 533	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> P e. Q. )
5		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
6	5	opeq1d 3891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
7	6	eceq1d 6805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
8	7	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
9	8	oveq2d 6068	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
10	9	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
11	10	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
12	11	rexbidv 2545	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
13	12	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
14	13	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) ) )
15		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o (/) ) )
16	15	opeq1d 3891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. )
17	16	eceq1d 6805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q )
18	17	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
19	18	oveq2d 6068	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
20	19	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
22	21	rexbidv 2545	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
23	22	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
24		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o z ) )
25	24	opeq1d 3891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. )
26	25	eceq1d 6805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q )
27	26	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
28	27	oveq2d 6068	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
29	28	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
30	29	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
31	30	rexbidv 2545	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
32	31	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
33		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc z -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o suc z ) )
34	33	opeq1d 3891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc z -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. )
35	34	eceq1d 6805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc z -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q )
36	35	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc z -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
37	36	oveq2d 6068	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc z -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
38	37	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc z -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
39	38	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( x = suc z -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
40	39	rexbidv 2545	. . . . . . 7 |- ( x = suc z -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
41	40	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = suc z -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
42		2onn 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2o e. om
43		nnacl 6715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( y +o 2o ) e. om )
44		nna0 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y +o 2o ) e. om -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
46	42, 45	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. om -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
47	46	opeq1d 3891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. = <. ( y +o 2o ) , 1o >. )
48	47	eceq1d 6805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q )
49	48	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
50	49	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
51	50	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
52	51	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
53	52	rexbiia 2559	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
54		opeq1 3885	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> <. y , 1o >. = <. j , 1o >. )
55	54	eceq1d 6805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> [ <. y , 1o >. ] ~Q0 = [ <. j , 1o >. ] ~Q0 )
56	55	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = j -> ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
57	56	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = j -> ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
58	57	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = j -> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
59		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = j -> ( y +o 2o ) = ( j +o 2o ) )
60	59	opeq1d 3891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> <. ( y +o 2o ) , 1o >. = <. ( j +o 2o ) , 1o >. )
61	60	eceq1d 6805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q )
62	61	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = j -> ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
63	62	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = j -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
64	63	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = j -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
65	58, 64	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( y = j -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
66	65	cbvrexv 2781	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
67	53, 66	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
68	67	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
69	68	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
70		prarloclem3step 7813	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
71	70	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
72	71	imim1d 75	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
73	72	ex 115	. . . . . 6 |- ( z e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) ) )
74	23, 32, 41, 69, 73	finds2 4725	. . . . 5 |- ( x e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
75	14, 74	vtoclga 2883	. . . 4 |- ( X e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
76	75	imp 124	. . 3 |- ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 76	syl13anc 1276	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
78	77	3impia 1227	1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   (/)c0 3510   <.cop 3694   suc csuc 4488   omcom 4714  (class class class)co 6052   1oc1o 6642   2oc2o 6643   +o coa 6646   [cec 6767   ~Q ceq 7596   Q.cnq 7597   +Q cplq 7599   .Q cmq 7600   ~_Q0 ceq0 7603   +_Q0 cplq0 7606   ·_Q0 cmq0 7607   P.cnp 7608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-eprel 4412  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-er 6769  df-ec 6771  df-qs 6775  df-ni 7621  df-pli 7622  df-mi 7623  df-lti 7624  df-plpq 7661  df-mpq 7662  df-enq 7664  df-nqqs 7665  df-plqqs 7666  df-mqqs 7667  df-ltnqqs 7670  df-enq0 7741  df-nq0 7742  df-plq0 7744  df-mq0 7745  df-inp 7783

This theorem is referenced by:  prarloclem4  7815