Theorem prubl 7448

Description: A positive fraction not in a lower cut is an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prubl	|- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )

Proof of Theorem prubl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2233	. . . . . . 7 |- ( B = C -> ( B e. L <-> C e. L ) )
2	1	biimpcd 158	. . . . . 6 |- ( B e. L -> ( B = C -> C e. L ) )
3	2	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( B = C -> C e. L ) )
4		prcdnql 7446	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( C <Q B -> C e. L ) )
5	3, 4	jaod 712	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( ( B = C \/ C <Q B ) -> C e. L ) )
6	5	con3d 626	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( -. C e. L -> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
7	6	adantr 274	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
8		elprnql 7443	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )
9		nqtric 7361	. . 3 |- ( ( B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( B <Q C <-> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
10	8, 9	sylan 281	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( B <Q C <-> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
11	7, 10	sylibrd 168	1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Q.cnq 7242   <Q cltq 7247   P.cnp 7253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-lti 7269  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315  df-inp 7428

This theorem is referenced by:  prltlu  7449