Theorem prubl 7487

Description: A positive fraction not in a lower cut is an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prubl	|- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )

Proof of Theorem prubl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( B = C -> ( B e. L <-> C e. L ) )
2	1	biimpcd 159	. . . . . 6 |- ( B e. L -> ( B = C -> C e. L ) )
3	2	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( B = C -> C e. L ) )
4		prcdnql 7485	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( C <Q B -> C e. L ) )
5	3, 4	jaod 717	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( ( B = C \/ C <Q B ) -> C e. L ) )
6	5	con3d 631	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( -. C e. L -> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
7	6	adantr 276	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
8		elprnql 7482	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )
9		nqtric 7400	. . 3 |- ( ( B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( B <Q C <-> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( B <Q C <-> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
11	7, 10	sylibrd 169	1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3597   class class class wbr 4005   Q.cnq 7281   <Q cltq 7286   P.cnp 7292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-mi 7307  df-lti 7308  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-ltnqqs 7354  df-inp 7467

This theorem is referenced by:  prltlu  7488