ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prubl Unicode version

Theorem prubl 7287
Description: A positive fraction not in a lower cut is an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prubl  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  L  ->  B  <Q  C )
)

Proof of Theorem prubl
StepHypRef Expression
1 eleq1 2200 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( B  e.  L  <->  C  e.  L ) )
21biimpcd 158 . . . . . 6  |-  ( B  e.  L  ->  ( B  =  C  ->  C  e.  L ) )
32adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  ( B  =  C  ->  C  e.  L ) )
4 prcdnql 7285 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  L ) )
53, 4jaod 706 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  (
( B  =  C  \/  C  <Q  B )  ->  C  e.  L
) )
65con3d 620 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  ( -.  C  e.  L  ->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
76adantr 274 . 2  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  L  ->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
8 elprnql 7282 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  B  e.  Q. )
9 nqtric 7200 . . 3  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( B  <Q  C  <->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
108, 9sylan 281 . 2  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( B  <Q  C  <->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
117, 10sylibrd 168 1  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  L  ->  B  <Q  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3525   class class class wbr 3924   Q.cnq 7081    <Q cltq 7086   P.cnp 7092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-mi 7107  df-lti 7108  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-ltnqqs 7154  df-inp 7267
This theorem is referenced by:  prltlu  7288
  Copyright terms: Public domain W3C validator