Theorem prubl 7846

Description: A positive fraction not in a lower cut is an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prubl	|- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )

Proof of Theorem prubl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( B = C -> ( B e. L <-> C e. L ) )
2	1	biimpcd 159	. . . . . 6 |- ( B e. L -> ( B = C -> C e. L ) )
3	2	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( B = C -> C e. L ) )
4		prcdnql 7844	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( C <Q B -> C e. L ) )
5	3, 4	jaod 729	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( ( B = C \/ C <Q B ) -> C e. L ) )
6	5	con3d 640	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( -. C e. L -> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
7	6	adantr 276	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
8		elprnql 7841	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )
9		nqtric 7759	. . 3 |- ( ( B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( B <Q C <-> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( B <Q C <-> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
11	7, 10	sylibrd 169	1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3711   class class class wbr 4128   Q.cnq 7640   <Q cltq 7645   P.cnp 7651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-irdg 6634  df-oadd 6684  df-omul 6685  df-er 6800  df-ec 6802  df-qs 6806  df-ni 7664  df-mi 7666  df-lti 7667  df-enq 7707  df-nqqs 7708  df-ltnqqs 7713  df-inp 7826

This theorem is referenced by:  prltlu  7847