Theorem prubl 7294

Description: A positive fraction not in a lower cut is an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prubl	|- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )

Proof of Theorem prubl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2202	. . . . . . 7 |- ( B = C -> ( B e. L <-> C e. L ) )
2	1	biimpcd 158	. . . . . 6 |- ( B e. L -> ( B = C -> C e. L ) )
3	2	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( B = C -> C e. L ) )
4		prcdnql 7292	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( C <Q B -> C e. L ) )
5	3, 4	jaod 706	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( ( B = C \/ C <Q B ) -> C e. L ) )
6	5	con3d 620	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( -. C e. L -> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
7	6	adantr 274	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
8		elprnql 7289	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )
9		nqtric 7207	. . 3 |- ( ( B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( B <Q C <-> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
10	8, 9	sylan 281	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( B <Q C <-> -. ( B = C \/ C <Q B ) ) )
11	7, 10	sylibrd 168	1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929   Q.cnq 7088   <Q cltq 7093   P.cnp 7099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-mi 7114  df-lti 7115  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-ltnqqs 7161  df-inp 7274

This theorem is referenced by:  prltlu  7295