ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prubl GIF version

Theorem prubl 7484
Description: A positive fraction not in a lower cut is an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prubl (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐿𝐵 <Q 𝐶))

Proof of Theorem prubl
StepHypRef Expression
1 eleq1 2240 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝐿𝐶𝐿))
21biimpcd 159 . . . . . 6 (𝐵𝐿 → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐿))
32adantl 277 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐿))
4 prcdnql 7482 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))
53, 4jaod 717 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ((𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐿))
65con3d 631 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (¬ 𝐶𝐿 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
76adantr 276 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐿 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
8 elprnql 7479 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → 𝐵Q)
9 nqtric 7397 . . 3 ((𝐵Q𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
108, 9sylan 283 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
117, 10sylibrd 169 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐿𝐵 <Q 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  cop 3595   class class class wbr 4003  Qcnq 7278   <Q cltq 7283  Pcnp 7289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-lti 7305  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-ltnqqs 7351  df-inp 7464
This theorem is referenced by:  prltlu  7485
  Copyright terms: Public domain W3C validator