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Theorem prcunqu 7044
Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcunqu  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) )

Proof of Theorem prcunqu
Dummy variables  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6924 . . . . . 6  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
21brel 4490 . . . . 5  |-  ( C 
<Q  B  ->  ( C  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
32simprd 112 . . . 4  |-  ( C 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
43adantl 271 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  /\  C  <Q  B )  ->  B  e.  Q. )
5 breq2 3849 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( C  <Q  b  <->  C  <Q  B ) )
6 eleq1 2150 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  U  <->  B  e.  U ) )
75, 6imbi12d 232 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( C  <Q  b  ->  b  e.  U )  <-> 
( C  <Q  B  ->  B  e.  U )
) )
87imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  b  ->  b  e.  U ) )  <->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) ) ) )
91brel 4490 . . . . . . . 8  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( C  e.  Q.  /\  b  e.  Q. ) )
10 an42 554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  /\  ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e.  P. ) )  <-> 
( ( C  e. 
Q.  /\  C  e.  U )  /\  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  b  e.  Q. ) ) )
11 breq1 3848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  C  ->  (
c  <Q  b  <->  C  <Q  b ) )
12 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  C  ->  (
c  e.  U  <->  C  e.  U ) )
1311, 12anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  C  ->  (
( c  <Q  b  /\  c  e.  U
)  <->  ( C  <Q  b  /\  C  e.  U
) ) )
1413rspcev 2722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  ( C  <Q  b  /\  C  e.  U )
)  ->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) )
15 elinp 7033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. c  e.  Q.  c  e.  L  /\  E. b  e.  Q.  b  e.  U ) )  /\  ( ( A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  ( c  <Q  b  /\  b  e.  L
) )  /\  A. b  e.  Q.  (
b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )  /\  A. c  e. 
Q.  -.  ( c  e.  L  /\  c  e.  U )  /\  A. c  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  ->  ( c  e.  L  \/  b  e.  U ) ) ) ) )
16 simpr1r 1001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. c  e.  Q.  c  e.  L  /\  E. b  e.  Q.  b  e.  U )
)  /\  ( ( A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  (
c  <Q  b  /\  b  e.  L ) )  /\  A. b  e.  Q.  (
b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )  /\  A. c  e. 
Q.  -.  ( c  e.  L  /\  c  e.  U )  /\  A. c  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  ->  ( c  e.  L  \/  b  e.  U ) ) ) )  ->  A. b  e.  Q.  ( b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q  b  /\  c  e.  U
) ) )
1715, 16sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. b  e.  Q.  ( b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  (
c  <Q  b  /\  c  e.  U ) ) )
1817r19.21bi 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )
1914, 18syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  ( C  <Q  b  /\  C  e.  U )
)  ->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) )
20193impb 1139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  C  <Q  b  /\  C  e.  U )  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) )
21203com12 1147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  <Q  b  /\  C  e.  Q.  /\  C  e.  U )  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) )
22213expib 1146 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( C  e.  Q.  /\  C  e.  U )  ->  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) ) )
2322impd 251 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( ( C  e.  Q.  /\  C  e.  U )  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )
)  ->  b  e.  U ) )
2410, 23syl5bi 150 . . . . . . . 8  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( ( C  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  /\  ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e.  P. ) )  ->  b  e.  U
) )
259, 24mpand 420 . . . . . . 7  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e. 
P. )  ->  b  e.  U ) )
2625com12 30 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e. 
P. )  ->  ( C  <Q  b  ->  b  e.  U ) )
2726ancoms 264 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  b  ->  b  e.  U ) )
288, 27vtoclg 2679 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) ) )
2928impd 251 . . 3  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  /\  C  <Q  B )  ->  B  e.  U
) )
304, 29mpcom 36 . 2  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  /\  C  <Q  B )  ->  B  e.  U )
3130ex 113 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360    C_ wss 2999   <.cop 3449   class class class wbr 3845   Q.cnq 6839    <Q cltq 6844   P.cnp 6850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-qs 6298  df-ni 6863  df-nqqs 6907  df-ltnqqs 6912  df-inp 7025
This theorem is referenced by:  prarloc  7062  prarloc2  7063  addnqprulem  7087  nqpru  7111  prmuloc2  7126  mulnqpru  7128  distrlem4pru  7144  1idpru  7150  ltexprlemm  7159  ltexprlemupu  7163  ltexprlemrl  7169  ltexprlemfu  7170  ltexprlemru  7171  aptiprlemu  7199
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