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Theorem prcunqu 7483
Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcunqu  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) )

Proof of Theorem prcunqu
Dummy variables  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7363 . . . . . 6  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
21brel 4678 . . . . 5  |-  ( C 
<Q  B  ->  ( C  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
32simprd 114 . . . 4  |-  ( C 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
43adantl 277 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  /\  C  <Q  B )  ->  B  e.  Q. )
5 breq2 4007 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( C  <Q  b  <->  C  <Q  B ) )
6 eleq1 2240 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  U  <->  B  e.  U ) )
75, 6imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( C  <Q  b  ->  b  e.  U )  <-> 
( C  <Q  B  ->  B  e.  U )
) )
87imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  b  ->  b  e.  U ) )  <->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) ) ) )
91brel 4678 . . . . . . . 8  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( C  e.  Q.  /\  b  e.  Q. ) )
10 an42 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  /\  ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e.  P. ) )  <-> 
( ( C  e. 
Q.  /\  C  e.  U )  /\  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  b  e.  Q. ) ) )
11 breq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  C  ->  (
c  <Q  b  <->  C  <Q  b ) )
12 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  C  ->  (
c  e.  U  <->  C  e.  U ) )
1311, 12anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  C  ->  (
( c  <Q  b  /\  c  e.  U
)  <->  ( C  <Q  b  /\  C  e.  U
) ) )
1413rspcev 2841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  ( C  <Q  b  /\  C  e.  U )
)  ->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) )
15 elinp 7472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. c  e.  Q.  c  e.  L  /\  E. b  e.  Q.  b  e.  U ) )  /\  ( ( A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  ( c  <Q  b  /\  b  e.  L
) )  /\  A. b  e.  Q.  (
b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )  /\  A. c  e. 
Q.  -.  ( c  e.  L  /\  c  e.  U )  /\  A. c  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  ->  ( c  e.  L  \/  b  e.  U ) ) ) ) )
16 simpr1r 1055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. c  e.  Q.  c  e.  L  /\  E. b  e.  Q.  b  e.  U )
)  /\  ( ( A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  (
c  <Q  b  /\  b  e.  L ) )  /\  A. b  e.  Q.  (
b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )  /\  A. c  e. 
Q.  -.  ( c  e.  L  /\  c  e.  U )  /\  A. c  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  ->  ( c  e.  L  \/  b  e.  U ) ) ) )  ->  A. b  e.  Q.  ( b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q  b  /\  c  e.  U
) ) )
1715, 16sylbi 121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. b  e.  Q.  ( b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  (
c  <Q  b  /\  c  e.  U ) ) )
1817r19.21bi 2565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )
1914, 18syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  ( C  <Q  b  /\  C  e.  U )
)  ->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) )
20193impb 1199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  C  <Q  b  /\  C  e.  U )  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) )
21203com12 1207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  <Q  b  /\  C  e.  Q.  /\  C  e.  U )  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) )
22213expib 1206 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( C  e.  Q.  /\  C  e.  U )  ->  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) ) )
2322impd 254 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( ( C  e.  Q.  /\  C  e.  U )  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )
)  ->  b  e.  U ) )
2410, 23biimtrid 152 . . . . . . . 8  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( ( C  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  /\  ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e.  P. ) )  ->  b  e.  U
) )
259, 24mpand 429 . . . . . . 7  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e. 
P. )  ->  b  e.  U ) )
2625com12 30 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e. 
P. )  ->  ( C  <Q  b  ->  b  e.  U ) )
2726ancoms 268 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  b  ->  b  e.  U ) )
288, 27vtoclg 2797 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) ) )
2928impd 254 . . 3  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  /\  C  <Q  B )  ->  B  e.  U
) )
304, 29mpcom 36 . 2  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  /\  C  <Q  B )  ->  B  e.  U )
3130ex 115 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3129   <.cop 3595   class class class wbr 4003   Q.cnq 7278    <Q cltq 7283   P.cnp 7289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-qs 6540  df-ni 7302  df-nqqs 7346  df-ltnqqs 7351  df-inp 7464
This theorem is referenced by:  prarloc  7501  prarloc2  7502  addnqprulem  7526  nqpru  7550  prmuloc2  7565  mulnqpru  7567  distrlem4pru  7583  1idpru  7589  ltexprlemm  7598  ltexprlemupu  7602  ltexprlemrl  7608  ltexprlemfu  7609  ltexprlemru  7610  aptiprlemu  7638  suplocexprlemdisj  7718  suplocexprlemub  7721
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