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Theorem prcunqu 7286
Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcunqu  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) )

Proof of Theorem prcunqu
Dummy variables  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7166 . . . . . 6  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
21brel 4586 . . . . 5  |-  ( C 
<Q  B  ->  ( C  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
32simprd 113 . . . 4  |-  ( C 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
43adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  /\  C  <Q  B )  ->  B  e.  Q. )
5 breq2 3928 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( C  <Q  b  <->  C  <Q  B ) )
6 eleq1 2200 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  U  <->  B  e.  U ) )
75, 6imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( C  <Q  b  ->  b  e.  U )  <-> 
( C  <Q  B  ->  B  e.  U )
) )
87imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  b  ->  b  e.  U ) )  <->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) ) ) )
91brel 4586 . . . . . . . 8  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( C  e.  Q.  /\  b  e.  Q. ) )
10 an42 576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  /\  ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e.  P. ) )  <-> 
( ( C  e. 
Q.  /\  C  e.  U )  /\  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  b  e.  Q. ) ) )
11 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  C  ->  (
c  <Q  b  <->  C  <Q  b ) )
12 eleq1 2200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  C  ->  (
c  e.  U  <->  C  e.  U ) )
1311, 12anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  C  ->  (
( c  <Q  b  /\  c  e.  U
)  <->  ( C  <Q  b  /\  C  e.  U
) ) )
1413rspcev 2784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  ( C  <Q  b  /\  C  e.  U )
)  ->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) )
15 elinp 7275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. c  e.  Q.  c  e.  L  /\  E. b  e.  Q.  b  e.  U ) )  /\  ( ( A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  ( c  <Q  b  /\  b  e.  L
) )  /\  A. b  e.  Q.  (
b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )  /\  A. c  e. 
Q.  -.  ( c  e.  L  /\  c  e.  U )  /\  A. c  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  ->  ( c  e.  L  \/  b  e.  U ) ) ) ) )
16 simpr1r 1039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. c  e.  Q.  c  e.  L  /\  E. b  e.  Q.  b  e.  U )
)  /\  ( ( A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  (
c  <Q  b  /\  b  e.  L ) )  /\  A. b  e.  Q.  (
b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )  /\  A. c  e. 
Q.  -.  ( c  e.  L  /\  c  e.  U )  /\  A. c  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  ->  ( c  e.  L  \/  b  e.  U ) ) ) )  ->  A. b  e.  Q.  ( b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q  b  /\  c  e.  U
) ) )
1715, 16sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. b  e.  Q.  ( b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  (
c  <Q  b  /\  c  e.  U ) ) )
1817r19.21bi 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )
1914, 18syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  ( C  <Q  b  /\  C  e.  U )
)  ->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) )
20193impb 1177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  C  <Q  b  /\  C  e.  U )  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) )
21203com12 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  <Q  b  /\  C  e.  Q.  /\  C  e.  U )  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) )
22213expib 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( C  e.  Q.  /\  C  e.  U )  ->  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  b  e.  U ) ) )
2322impd 252 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( ( C  e.  Q.  /\  C  e.  U )  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  b  e.  Q. )
)  ->  b  e.  U ) )
2410, 23syl5bi 151 . . . . . . . 8  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( ( C  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  /\  ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e.  P. ) )  ->  b  e.  U
) )
259, 24mpand 425 . . . . . . 7  |-  ( C 
<Q  b  ->  ( ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e. 
P. )  ->  b  e.  U ) )
2625com12 30 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  U  /\  <. L ,  U >.  e. 
P. )  ->  ( C  <Q  b  ->  b  e.  U ) )
2726ancoms 266 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  b  ->  b  e.  U ) )
288, 27vtoclg 2741 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) ) )
2928impd 252 . . 3  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  /\  C  <Q  B )  ->  B  e.  U
) )
304, 29mpcom 36 . 2  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  C  e.  U )  /\  C  <Q  B )  ->  B  e.  U )
3130ex 114 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  ( C  <Q  B  ->  B  e.  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415    C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924   Q.cnq 7081    <Q cltq 7086   P.cnp 7092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-qs 6428  df-ni 7105  df-nqqs 7149  df-ltnqqs 7154  df-inp 7267
This theorem is referenced by:  prarloc  7304  prarloc2  7305  addnqprulem  7329  nqpru  7353  prmuloc2  7368  mulnqpru  7370  distrlem4pru  7386  1idpru  7392  ltexprlemm  7401  ltexprlemupu  7405  ltexprlemrl  7411  ltexprlemfu  7412  ltexprlemru  7413  aptiprlemu  7441  suplocexprlemdisj  7521  suplocexprlemub  7524
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