Theorem prcunqu 7817

Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcunqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) )

Proof of Theorem prcunqu

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7697	. . . . . 6 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4808	. . . . 5 |- ( C <Q B -> ( C e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	2	simprd 114	. . . 4 |- ( C <Q B -> B e. Q. )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. Q. )
5		breq2 4119	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( C <Q b <-> C <Q B ) )
6		eleq1 2297	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( b e. U <-> B e. U ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( ( C <Q b -> b e. U ) <-> ( C <Q B -> B e. U ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q b -> b e. U ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) ) ) )
9	1	brel 4808	. . . . . . . 8 |- ( C <Q b -> ( C e. Q. /\ b e. Q. ) )
10		an42 589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Q. /\ b e. Q. ) /\ ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) ) <-> ( ( C e. Q. /\ C e. U ) /\ ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) ) )
11		breq1 4118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = C -> ( c <Q b <-> C <Q b ) )
12		eleq1 2297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = C -> ( c e. U <-> C e. U ) )
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = C -> ( ( c <Q b /\ c e. U ) <-> ( C <Q b /\ C e. U ) ) )
14	13	rspcev 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. Q. /\ ( C <Q b /\ C e. U ) ) -> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) )
15		elinp 7806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. c e. Q. c e. L /\ E. b e. Q. b e. U ) ) /\ ( ( A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) /\ A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) ) /\ A. c e. Q. -. ( c e. L /\ c e. U ) /\ A. c e. Q. A. b e. Q. ( c <Q b -> ( c e. L \/ b e. U ) ) ) ) )
16		simpr1r 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. c e. Q. c e. L /\ E. b e. Q. b e. U ) ) /\ ( ( A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) /\ A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) ) /\ A. c e. Q. -. ( c e. L /\ c e. U ) /\ A. c e. Q. A. b e. Q. ( c <Q b -> ( c e. L \/ b e. U ) ) ) ) -> A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
17	15, 16	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
18	17	r19.21bi 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
19	14, 18	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Q. /\ ( C <Q b /\ C e. U ) ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
20	19	3impb 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. Q. /\ C <Q b /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
21	20	3com12 1234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C <Q b /\ C e. Q. /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
22	21	3expib 1233	. . . . . . . . . 10 |- ( C <Q b -> ( ( C e. Q. /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) ) )
23	22	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( C <Q b -> ( ( ( C e. Q. /\ C e. U ) /\ ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) ) -> b e. U ) )
24	10, 23	biimtrid 152	. . . . . . . 8 |- ( C <Q b -> ( ( ( C e. Q. /\ b e. Q. ) /\ ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) ) -> b e. U ) )
25	9, 24	mpand 429	. . . . . . 7 |- ( C <Q b -> ( ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) -> b e. U ) )
26	25	com12 30	. . . . . 6 |- ( ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) -> ( C <Q b -> b e. U ) )
27	26	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q b -> b e. U ) )
28	8, 27	vtoclg 2877	. . . 4 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) ) )
29	28	impd 254	. . 3 |- ( B e. Q. -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. U ) )
30	4, 29	mpcom 36	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. U )
31	30	ex 115	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   <.cop 3698   class class class wbr 4115   Q.cnq 7612   <Q cltq 7617   P.cnp 7623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-iinf 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-qs 6787  df-ni 7636  df-nqqs 7680  df-ltnqqs 7685  df-inp 7798

This theorem is referenced by:  prarloc  7835  prarloc2  7836  addnqprulem  7860  nqpru  7884  prmuloc2  7899  mulnqpru  7901  distrlem4pru  7917  1idpru  7923  ltexprlemm  7932  ltexprlemupu  7936  ltexprlemrl  7942  ltexprlemfu  7943  ltexprlemru  7944  aptiprlemu  7972  suplocexprlemdisj  8052  suplocexprlemub  8055