Theorem prltlu 7554

Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prltlu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> B <Q C )

Proof of Theorem prltlu

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1001	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> C e. U )
2		eleq1 2259	. . . . . . 7 |- ( q = C -> ( q e. L <-> C e. L ) )
3		eleq1 2259	. . . . . . 7 |- ( q = C -> ( q e. U <-> C e. U ) )
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( q = C -> ( ( q e. L /\ q e. U ) <-> ( C e. L /\ C e. U ) ) )
5	4	notbid 668	. . . . 5 |- ( q = C -> ( -. ( q e. L /\ q e. U ) <-> -. ( C e. L /\ C e. U ) ) )
6		elinp 7541	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
7		simpr2 1006	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
8	6, 7	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
9	8	3ad2ant1 1020	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
10		elprnqu 7549	. . . . . 6 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> C e. Q. )
11	10	3adant2 1018	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> C e. Q. )
12	5, 9, 11	rspcdva 2873	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> -. ( C e. L /\ C e. U ) )
13		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( C e. L /\ C e. U ) <-> ( C e. U /\ C e. L ) )
14	13	notbii 669	. . . . 5 |- ( -. ( C e. L /\ C e. U ) <-> -. ( C e. U /\ C e. L ) )
15		imnan 691	. . . . 5 |- ( ( C e. U -> -. C e. L ) <-> -. ( C e. U /\ C e. L ) )
16	14, 15	bitr4i 187	. . . 4 |- ( -. ( C e. L /\ C e. U ) <-> ( C e. U -> -. C e. L ) )
17	12, 16	sylib 122	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( C e. U -> -. C e. L ) )
18	1, 17	mpd 13	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> -. C e. L )
19		3simpa 996	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) )
20		prubl 7553	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )
21	19, 11, 20	syl2anc 411	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )
22	18, 21	mpd 13	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> B <Q C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   <.cop 3625   class class class wbr 4033   Q.cnq 7347   <Q cltq 7352   P.cnp 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-mi 7373  df-lti 7374  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-ltnqqs 7420  df-inp 7533

This theorem is referenced by:  genpdisj  7590  prmuloc  7633  ltprordil  7656  ltpopr  7662  ltexprlemopu  7670  ltexprlemdisj  7673  ltexprlemfl  7676  ltexprlemfu  7678  ltexprlemru  7679  recexprlemdisj  7697  recexprlemss1l  7702  recexprlemss1u  7703