ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prltlu Unicode version

Theorem prltlu 7486
Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prltlu  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  B  <Q  C )

Proof of Theorem prltlu
Dummy variables  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  C  e.  U )
2 eleq1 2240 . . . . . . 7  |-  ( q  =  C  ->  (
q  e.  L  <->  C  e.  L ) )
3 eleq1 2240 . . . . . . 7  |-  ( q  =  C  ->  (
q  e.  U  <->  C  e.  U ) )
42, 3anbi12d 473 . . . . . 6  |-  ( q  =  C  ->  (
( q  e.  L  /\  q  e.  U
)  <->  ( C  e.  L  /\  C  e.  U ) ) )
54notbid 667 . . . . 5  |-  ( q  =  C  ->  ( -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U
)  <->  -.  ( C  e.  L  /\  C  e.  U ) ) )
6 elinp 7473 . . . . . . 7  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) )
7 simpr2 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U )
)  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  L ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) )
86, 7sylbi 121 . . . . . 6  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U
) )
983ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) )
10 elprnqu 7481 . . . . . 6  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  C  e.  Q. )
11103adant2 1016 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  C  e.  Q. )
125, 9, 11rspcdva 2847 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  -.  ( C  e.  L  /\  C  e.  U )
)
13 ancom 266 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  L  /\  C  e.  U )  <->  ( C  e.  U  /\  C  e.  L )
)
1413notbii 668 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  L  /\  C  e.  U
)  <->  -.  ( C  e.  U  /\  C  e.  L ) )
15 imnan 690 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  U  ->  -.  C  e.  L
)  <->  -.  ( C  e.  U  /\  C  e.  L ) )
1614, 15bitr4i 187 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  L  /\  C  e.  U
)  <->  ( C  e.  U  ->  -.  C  e.  L ) )
1712, 16sylib 122 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  ( C  e.  U  ->  -.  C  e.  L ) )
181, 17mpd 13 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  -.  C  e.  L )
19 3simpa 994 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L ) )
20 prubl 7485 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  L  ->  B  <Q  C )
)
2119, 11, 20syl2anc 411 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  ( -.  C  e.  L  ->  B 
<Q  C ) )
2218, 21mpd 13 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  B  <Q  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3130   <.cop 3596   class class class wbr 4004   Q.cnq 7279    <Q cltq 7284   P.cnp 7290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-lti 7306  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-ltnqqs 7352  df-inp 7465
This theorem is referenced by:  genpdisj  7522  prmuloc  7565  ltprordil  7588  ltpopr  7594  ltexprlemopu  7602  ltexprlemdisj  7605  ltexprlemfl  7608  ltexprlemfu  7610  ltexprlemru  7611  recexprlemdisj  7629  recexprlemss1l  7634  recexprlemss1u  7635
  Copyright terms: Public domain W3C validator