ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prltlu Unicode version

Theorem prltlu 7449
Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prltlu  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  B  <Q  C )

Proof of Theorem prltlu
Dummy variables  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 994 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  C  e.  U )
2 eleq1 2233 . . . . . . 7  |-  ( q  =  C  ->  (
q  e.  L  <->  C  e.  L ) )
3 eleq1 2233 . . . . . . 7  |-  ( q  =  C  ->  (
q  e.  U  <->  C  e.  U ) )
42, 3anbi12d 470 . . . . . 6  |-  ( q  =  C  ->  (
( q  e.  L  /\  q  e.  U
)  <->  ( C  e.  L  /\  C  e.  U ) ) )
54notbid 662 . . . . 5  |-  ( q  =  C  ->  ( -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U
)  <->  -.  ( C  e.  L  /\  C  e.  U ) ) )
6 elinp 7436 . . . . . . 7  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) )
7 simpr2 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U )
)  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  L ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) )
86, 7sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U
) )
983ad2ant1 1013 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) )
10 elprnqu 7444 . . . . . 6  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  C  e.  U )  ->  C  e.  Q. )
11103adant2 1011 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  C  e.  Q. )
125, 9, 11rspcdva 2839 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  -.  ( C  e.  L  /\  C  e.  U )
)
13 ancom 264 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  L  /\  C  e.  U )  <->  ( C  e.  U  /\  C  e.  L )
)
1413notbii 663 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  L  /\  C  e.  U
)  <->  -.  ( C  e.  U  /\  C  e.  L ) )
15 imnan 685 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  U  ->  -.  C  e.  L
)  <->  -.  ( C  e.  U  /\  C  e.  L ) )
1614, 15bitr4i 186 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  L  /\  C  e.  U
)  <->  ( C  e.  U  ->  -.  C  e.  L ) )
1712, 16sylib 121 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  ( C  e.  U  ->  -.  C  e.  L ) )
181, 17mpd 13 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  -.  C  e.  L )
19 3simpa 989 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L ) )
20 prubl 7448 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  L  ->  B  <Q  C )
)
2119, 11, 20syl2anc 409 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  ( -.  C  e.  L  ->  B 
<Q  C ) )
2218, 21mpd 13 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L  /\  C  e.  U
)  ->  B  <Q  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449    C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Q.cnq 7242    <Q cltq 7247   P.cnp 7253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-lti 7269  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315  df-inp 7428
This theorem is referenced by:  genpdisj  7485  prmuloc  7528  ltprordil  7551  ltpopr  7557  ltexprlemopu  7565  ltexprlemdisj  7568  ltexprlemfl  7571  ltexprlemfu  7573  ltexprlemru  7574  recexprlemdisj  7592  recexprlemss1l  7597  recexprlemss1u  7598
  Copyright terms: Public domain W3C validator