ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmettri2 GIF version

Theorem psmettri2 13122
Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmettri2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem psmettri2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 12781 . . . . . . . . 9 PsMet = (𝑑 ∈ V ↦ {𝑒 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑑 × 𝑑)) ∣ ∀𝑎𝑑 ((𝑎𝑒𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑑𝑐𝑑 (𝑎𝑒𝑏) ≤ ((𝑐𝑒𝑎) +𝑒 (𝑐𝑒𝑏)))})
21mptrcl 5578 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
3 ispsmet 13117 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
42, 3syl 14 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
54ibi 175 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
65simprd 113 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
76r19.21bi 2558 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑎𝑋) → ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
87simprd 113 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑎𝑋) → ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
98ralrimiva 2543 . 2 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∀𝑎𝑋𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
10 oveq1 5860 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐷𝑏) = (𝐴𝐷𝑏))
11 oveq2 5861 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝑐𝐷𝑎) = (𝑐𝐷𝐴))
1211oveq1d 5868 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) = ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
1310, 12breq12d 4002 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ↔ (𝐴𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
14 oveq2 5861 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴𝐷𝑏) = (𝐴𝐷𝐵))
15 oveq2 5861 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝑐𝐷𝑏) = (𝑐𝐷𝐵))
1615oveq2d 5869 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) = ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐵)))
1714, 16breq12d 4002 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐵))))
18 oveq1 5860 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐷𝐴) = (𝐶𝐷𝐴))
19 oveq1 5860 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐷𝐵) = (𝐶𝐷𝐵))
2018, 19oveq12d 5871 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
2120breq2d 4001 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → ((𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐵)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
2213, 17, 21rspc3v 2850 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (∀𝑎𝑋𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
23223comr 1206 . 2 ((𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑎𝑋𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
249, 23mpan9 279 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  {crab 2452  Vcvv 2730   class class class wbr 3989   × cxp 4609  wf 5194  cfv 5198  (class class class)co 5853  𝑚 cmap 6626  0cc0 7774  *cxr 7953  cle 7955   +𝑒 cxad 9727  PsMetcpsmet 12773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-psmet 12781
This theorem is referenced by:  psmetsym  13123  psmettri  13124  psmetge0  13125  psmetres2  13127  xblss2ps  13198
  Copyright terms: Public domain W3C validator