ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmettri2 GIF version

Theorem psmettri2 13798
Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmettri2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))

Proof of Theorem psmettri2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 13417 . . . . . . . . 9 PsMet = (𝑑 ∈ V ↦ {𝑒 ∈ (ℝ* β†‘π‘š (𝑑 Γ— 𝑑)) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑑 ((π‘Žπ‘’π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑑 βˆ€π‘ ∈ 𝑑 (π‘Žπ‘’π‘) ≀ ((π‘π‘’π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝑒𝑏)))})
21mptrcl 5598 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
3 ispsmet 13793 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V β†’ (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 ((π‘Žπ·π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
42, 3syl 14 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 ((π‘Žπ·π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
54ibi 176 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 ((π‘Žπ·π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
65simprd 114 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 ((π‘Žπ·π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
76r19.21bi 2565 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Žπ·π‘Ž) = 0 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
87simprd 114 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
98ralrimiva 2550 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
10 oveq1 5881 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Žπ·π‘) = (𝐴𝐷𝑏))
11 oveq2 5882 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘π·π‘Ž) = (𝑐𝐷𝐴))
1211oveq1d 5889 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) = ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
1310, 12breq12d 4016 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ↔ (𝐴𝐷𝑏) ≀ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
14 oveq2 5882 . . . . 5 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐴𝐷𝑏) = (𝐴𝐷𝐡))
15 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑐𝐷𝑏) = (𝑐𝐷𝐡))
1615oveq2d 5890 . . . . 5 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) = ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐡)))
1714, 16breq12d 4016 . . . 4 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((𝐴𝐷𝑏) ≀ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ↔ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐡))))
18 oveq1 5881 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐢 β†’ (𝑐𝐷𝐴) = (𝐢𝐷𝐴))
19 oveq1 5881 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐢 β†’ (𝑐𝐷𝐡) = (𝐢𝐷𝐡))
2018, 19oveq12d 5892 . . . . 5 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐡)) = ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))
2120breq2d 4015 . . . 4 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐡)) ↔ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡))))
2213, 17, 21rspc3v 2857 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡))))
23223comr 1211 . 2 ((𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡))))
249, 23mpan9 281 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2737   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   β†‘π‘š cmap 6647  0cc0 7810  β„*cxr 7990   ≀ cle 7992   +𝑒 cxad 9769  PsMetcpsmet 13409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-map 6649  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-psmet 13417
This theorem is referenced by:  psmetsym  13799  psmettri  13800  psmetge0  13801  psmetres2  13803  xblss2ps  13874
  Copyright terms: Public domain W3C validator