ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmettri2 GIF version

Theorem psmettri2 13699
Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmettri2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem psmettri2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 13316 . . . . . . . . 9 PsMet = (𝑑 ∈ V ↦ {𝑒 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑑 × 𝑑)) ∣ ∀𝑎𝑑 ((𝑎𝑒𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑑𝑐𝑑 (𝑎𝑒𝑏) ≤ ((𝑐𝑒𝑎) +𝑒 (𝑐𝑒𝑏)))})
21mptrcl 5597 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
3 ispsmet 13694 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
42, 3syl 14 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
54ibi 176 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
65simprd 114 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
76r19.21bi 2565 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑎𝑋) → ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
87simprd 114 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑎𝑋) → ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
98ralrimiva 2550 . 2 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∀𝑎𝑋𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
10 oveq1 5879 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐷𝑏) = (𝐴𝐷𝑏))
11 oveq2 5880 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝑐𝐷𝑎) = (𝑐𝐷𝐴))
1211oveq1d 5887 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) = ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
1310, 12breq12d 4015 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ↔ (𝐴𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
14 oveq2 5880 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴𝐷𝑏) = (𝐴𝐷𝐵))
15 oveq2 5880 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝑐𝐷𝑏) = (𝑐𝐷𝐵))
1615oveq2d 5888 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) = ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐵)))
1714, 16breq12d 4015 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐵))))
18 oveq1 5879 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐷𝐴) = (𝐶𝐷𝐴))
19 oveq1 5879 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐷𝐵) = (𝐶𝐷𝐵))
2018, 19oveq12d 5890 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
2120breq2d 4014 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → ((𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑐𝐷𝐴) +𝑒 (𝑐𝐷𝐵)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
2213, 17, 21rspc3v 2857 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (∀𝑎𝑋𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
23223comr 1211 . 2 ((𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑎𝑋𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
249, 23mpan9 281 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2737   class class class wbr 4002   × cxp 4623  wf 5211  cfv 5215  (class class class)co 5872  𝑚 cmap 6645  0cc0 7808  *cxr 7987  cle 7989   +𝑒 cxad 9766  PsMetcpsmet 13308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-map 6647  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-psmet 13316
This theorem is referenced by:  psmetsym  13700  psmettri  13701  psmetge0  13702  psmetres2  13704  xblss2ps  13775
  Copyright terms: Public domain W3C validator