Theorem psrbagconcl 14713

Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbagconf1o.s	|- S = { y e. D | y oR <_ F }

Assertion

Ref	Expression
psrbagconcl	|- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> ( F oF - X ) e. S )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   y, D   y, F   f, X   y, X

Allowed substitution hints:   D( f)   S( y, f)   I( y)

Proof of Theorem psrbagconcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> F e. D )
2		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> X e. S )
3		breq1 4091	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( y oR <_ F <-> X oR <_ F ) )
4		psrbagconf1o.s	. . . . . . 7 |- S = { y e. D | y oR <_ F }
5	3, 4	elrab2 2965	. . . . . 6 |- ( X e. S <-> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
6	2, 5	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
7	6	simpld 112	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> X e. D )
8		psrbag.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9	8	psrbagf 14706	. . . 4 |- ( X e. D -> X : I --> NN0 )
10	7, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> X : I --> NN0 )
11	6	simprd 114	. . 3 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> X oR <_ F )
12	8	psrbagcon 14712	. . 3 |- ( ( F e. D /\ X : I --> NN0 /\ X oR <_ F ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
13	1, 10, 11, 12	syl3anc 1273	. 2 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
14		breq1 4091	. . 3 |- ( y = ( F oF - X ) -> ( y oR <_ F <-> ( F oF - X ) oR <_ F ) )
15	14, 4	elrab2 2965	. 2 |- ( ( F oF - X ) e. S <-> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
16	13, 15	sylibr 134	1 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> ( F oF - X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   class class class wbr 4088   `'ccnv 4724   "cima 4728   -->wf 5322  (class class class)co 6021   oFcof 6236   oRcofr 6237   ^m cmap 6820   Fincfn 6912   <_ cle 8218   - cmin 8353   NNcn 9146   NN0cn0 9405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-of 6238  df-ofr 6239  df-1o 6585  df-er 6705  df-map 6822  df-en 6913  df-fin 6915  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759

This theorem is referenced by:  psrbagconf1o  14714