Theorem psrbagconcl 14989

Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbagconf1o.s	|- S = { y e. D | y oR <_ F }

Assertion

Ref	Expression
psrbagconcl	|- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> ( F oF - X ) e. S )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   y, D   y, F   f, X   y, X

Allowed substitution hints:   D( f)   S( y, f)   I( y)

Proof of Theorem psrbagconcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> F e. D )
2		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> X e. S )
3		breq1 4131	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( y oR <_ F <-> X oR <_ F ) )
4		psrbagconf1o.s	. . . . . . 7 |- S = { y e. D | y oR <_ F }
5	3, 4	elrab2 2985	. . . . . 6 |- ( X e. S <-> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
6	2, 5	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
7	6	simpld 112	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> X e. D )
8		psrbag.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9	8	psrbagf 14980	. . . 4 |- ( X e. D -> X : I --> NN0 )
10	7, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> X : I --> NN0 )
11	6	simprd 114	. . 3 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> X oR <_ F )
12	8	psrbagcon 14988	. . 3 |- ( ( F e. D /\ X : I --> NN0 /\ X oR <_ F ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
13	1, 10, 11, 12	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
14		breq1 4131	. . 3 |- ( y = ( F oF - X ) -> ( y oR <_ F <-> ( F oF - X ) oR <_ F ) )
15	14, 4	elrab2 2985	. 2 |- ( ( F oF - X ) e. S <-> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
16	13, 15	sylibr 134	1 |- ( ( F e. D /\ X e. S ) -> ( F oF - X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4128   `'ccnv 4771   "cima 4775   -->wf 5371  (class class class)co 6078   oFcof 6293   oRcofr 6294   ^m cmap 6915   Fincfn 7015   <_ cle 8354   - cmin 8490   NNcn 9286   NN0cn0 9545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-of 6295  df-ofr 6296  df-1o 6680  df-er 6800  df-map 6917  df-en 7016  df-fin 7018  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904

This theorem is referenced by:  psrbagconf1o  14990