Theorem psrbagcon 14772

Description: The analogue of the statement " 0 <_ G <_ F implies 0 <_ F - G <_ F " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagcon	|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) e. D /\ ( F oF - G ) oR <_ F ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   f, G

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagcon

Dummy variables x j p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> p e. NN0 )
2	1	nn0zd 9661	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> p e. ZZ )
3		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> q e. NN0 )
4	3	nn0zd 9661	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> q e. ZZ )
5	2, 4	zsubcld 9668	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> ( p - q ) e. ZZ )
6		psrbag.d	. . . . . . . 8 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
7	6	psrbagf 14766	. . . . . . 7 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
8	7	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F : I --> NN0 )
9		simp2 1025	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G : I --> NN0 )
10		id 19	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F e. D )
11	7	ffnd 5490	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F Fn I )
12	10, 11	fndmexd 5534	. . . . . . 7 |- ( F e. D -> I e. _V )
13	12	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> I e. _V )
14		inidm 3418	. . . . . 6 |- ( I i^i I ) = I
15	5, 8, 9, 13, 13, 14	off 6257	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) : I --> ZZ )
16	15	ffnd 5490	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) Fn I )
17	11	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F Fn I )
18	9	ffnd 5490	. . . . . . 7 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G Fn I )
19		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
20		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) )
21	8	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
23	9	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
24	23	nn0zd 9661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
25	22, 24	zsubcld 9668	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. ZZ )
26	17, 18, 13, 13, 14, 19, 20, 25	ofvalg 6254	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F oF - G ) ` x ) = ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) )
27		simp3 1026	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G oR <_ F )
28	18, 17, 13, 13, 14, 20, 19	ofrfval 6253	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( G oR <_ F <-> A. x e. I ( G ` x ) <_ ( F ` x ) ) )
29	27, 28	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. I ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
30	29	r19.21bi 2621	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
31		nn0sub 9607	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G ` x ) e. NN0 /\ ( F ` x ) e. NN0 ) -> ( ( G ` x ) <_ ( F ` x ) <-> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. NN0 ) )
32	23, 21, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( G ` x ) <_ ( F ` x ) <-> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. NN0 ) )
33	30, 32	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. NN0 )
34	26, 33	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F oF - G ) ` x ) e. NN0 )
35	34	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. I ( ( F oF - G ) ` x ) e. NN0 )
36		ffnfv 5813	. . . 4 |- ( ( F oF - G ) : I --> NN0 <-> ( ( F oF - G ) Fn I /\ A. x e. I ( ( F oF - G ) ` x ) e. NN0 ) )
37	16, 35, 36	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) : I --> NN0 )
38		simp1 1024	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F e. D )
39	6	psrbag 14765	. . . . . . 7 |- ( I e. _V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
40	13, 39	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
41	38, 40	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
42	41	simprd 114	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' F " NN ) e. Fin )
43	23	nn0ge0d 9519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( G ` x ) )
44	21	nn0red 9517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. RR )
45	23	nn0red 9517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. RR )
46	44, 45	subge02d 8776	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( 0 <_ ( G ` x ) <-> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) ) )
47	43, 46	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) )
48	47	ralrimiva 2606	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. I ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) )
49	16, 17, 13, 13, 14, 26, 19	ofrfval 6253	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) oR <_ F <-> A. x e. I ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) ) )
50	48, 49	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) oR <_ F )
51	6	psrbaglesupp 14769	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ ( F oF - G ) : I --> NN0 /\ ( F oF - G ) oR <_ F ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) C_ ( `' F " NN ) )
52	38, 37, 50, 51	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) C_ ( `' F " NN ) )
53	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( F oF - G ) : I --> NN0 )
54		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> j e. ( `' F " NN ) )
55	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> F Fn I )
56		elpreima 5775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn I -> ( j e. ( `' F " NN ) <-> ( j e. I /\ ( F ` j ) e. NN ) ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. ( `' F " NN ) <-> ( j e. I /\ ( F ` j ) e. NN ) ) )
58	54, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. I /\ ( F ` j ) e. NN ) )
59	58	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> j e. I )
60	53, 59	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN0 )
61	60	nn0zd 9661	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( ( F oF - G ) ` j ) e. ZZ )
62		elnndc 9907	. . . . . . 7 |- ( ( ( F oF - G ) ` j ) e. ZZ -> DECID ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN )
63	61, 62	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> DECID ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN )
64		elpreima 5775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F oF - G ) Fn I -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( j e. I /\ ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) ) )
65	16, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( j e. I /\ ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( j e. I /\ ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) ) )
67	59, 66	mpbirand 441	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) )
68	67	dcbid 846	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> (DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> DECID ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) )
69	63, 68	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) )
70	69	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. j e. ( `' F " NN )DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) )
71		ssfidc 7173	. . . 4 |- ( ( ( `' F " NN ) e. Fin /\ ( `' ( F oF - G ) " NN ) C_ ( `' F " NN ) /\ A. j e. ( `' F " NN )DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin )
72	42, 52, 70, 71	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin )
73	6	psrbag 14765	. . . 4 |- ( I e. _V -> ( ( F oF - G ) e. D <-> ( ( F oF - G ) : I --> NN0 /\ ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin ) ) )
74	13, 73	syl 14	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) e. D <-> ( ( F oF - G ) : I --> NN0 /\ ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin ) ) )
75	37, 72, 74	mpbir2and 953	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) e. D )
76	75, 50	jca 306	1 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) e. D /\ ( F oF - G ) oR <_ F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   `'ccnv 4730   "cima 4734   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   oFcof 6242   oRcofr 6243   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   0cc0 8092   <_ cle 8274   - cmin 8409   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  psrbagconcl  14773