Theorem psrbagcon 15062

Description: The analogue of the statement " 0 <_ G <_ F implies 0 <_ F - G <_ F " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagcon	|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) e. D /\ ( F oF - G ) oR <_ F ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   f, G

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagcon

Dummy variables x j p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> p e. NN0 )
2	1	nn0zd 9766	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> p e. ZZ )
3		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> q e. NN0 )
4	3	nn0zd 9766	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> q e. ZZ )
5	2, 4	zsubcld 9773	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> ( p - q ) e. ZZ )
6		psrbag.d	. . . . . . . 8 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
7	6	psrbagf 15054	. . . . . . 7 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
8	7	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F : I --> NN0 )
9		simp2 1029	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G : I --> NN0 )
10		id 19	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F e. D )
11	7	ffnd 5534	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F Fn I )
12	10, 11	fndmexd 5581	. . . . . . 7 |- ( F e. D -> I e. _V )
13	12	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> I e. _V )
14		inidm 3440	. . . . . 6 |- ( I i^i I ) = I
15	5, 8, 9, 13, 13, 14	off 6315	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) : I --> ZZ )
16	15	ffnd 5534	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) Fn I )
17	11	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F Fn I )
18	9	ffnd 5534	. . . . . . 7 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G Fn I )
19		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
20		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) )
21	8	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
23	9	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
24	23	nn0zd 9766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
25	22, 24	zsubcld 9773	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. ZZ )
26	17, 18, 13, 13, 14, 19, 20, 25	ofvalg 6312	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F oF - G ) ` x ) = ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) )
27		simp3 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G oR <_ F )
28	18, 17, 13, 13, 14, 20, 19	ofrfval 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( G oR <_ F <-> A. x e. I ( G ` x ) <_ ( F ` x ) ) )
29	27, 28	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. I ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
30	29	r19.21bi 2638	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
31		nn0sub 9711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G ` x ) e. NN0 /\ ( F ` x ) e. NN0 ) -> ( ( G ` x ) <_ ( F ` x ) <-> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. NN0 ) )
32	23, 21, 31	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( G ` x ) <_ ( F ` x ) <-> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. NN0 ) )
33	30, 32	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. NN0 )
34	26, 33	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F oF - G ) ` x ) e. NN0 )
35	34	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. I ( ( F oF - G ) ` x ) e. NN0 )
36		ffnfv 5866	. . . 4 |- ( ( F oF - G ) : I --> NN0 <-> ( ( F oF - G ) Fn I /\ A. x e. I ( ( F oF - G ) ` x ) e. NN0 ) )
37	16, 35, 36	sylanbrc 421	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) : I --> NN0 )
38		simp1 1028	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F e. D )
39	6	psrbag 15053	. . . . . . 7 |- ( I e. _V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
40	13, 39	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
41	38, 40	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
42	41	simprd 114	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' F " NN ) e. Fin )
43	23	nn0ge0d 9623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( G ` x ) )
44	21	nn0red 9621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. RR )
45	23	nn0red 9621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. RR )
46	44, 45	subge02d 8865	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( 0 <_ ( G ` x ) <-> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) ) )
47	43, 46	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) )
48	47	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. I ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) )
49	16, 17, 13, 13, 14, 26, 19	ofrfval 6311	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) oR <_ F <-> A. x e. I ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) ) )
50	48, 49	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) oR <_ F )
51	6	psrbaglesupp 15058	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ ( F oF - G ) : I --> NN0 /\ ( F oF - G ) oR <_ F ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) C_ ( `' F " NN ) )
52	38, 37, 50, 51	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) C_ ( `' F " NN ) )
53	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( F oF - G ) : I --> NN0 )
54		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> j e. ( `' F " NN ) )
55	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> F Fn I )
56		elpreima 5828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn I -> ( j e. ( `' F " NN ) <-> ( j e. I /\ ( F ` j ) e. NN ) ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. ( `' F " NN ) <-> ( j e. I /\ ( F ` j ) e. NN ) ) )
58	54, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. I /\ ( F ` j ) e. NN ) )
59	58	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> j e. I )
60	53, 59	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN0 )
61	60	nn0zd 9766	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( ( F oF - G ) ` j ) e. ZZ )
62		elnndc 10012	. . . . . . 7 |- ( ( ( F oF - G ) ` j ) e. ZZ -> DECID ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN )
63	61, 62	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> DECID ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN )
64		elpreima 5828	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F oF - G ) Fn I -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( j e. I /\ ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) ) )
65	16, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( j e. I /\ ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( j e. I /\ ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) ) )
67	59, 66	mpbirand 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) )
68	67	dcbid 850	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> (DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> DECID ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) )
69	63, 68	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) )
70	69	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. j e. ( `' F " NN )DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) )
71		ssfidc 7245	. . . 4 |- ( ( ( `' F " NN ) e. Fin /\ ( `' ( F oF - G ) " NN ) C_ ( `' F " NN ) /\ A. j e. ( `' F " NN )DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin )
72	42, 52, 70, 71	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin )
73	6	psrbag 15053	. . . 4 |- ( I e. _V -> ( ( F oF - G ) e. D <-> ( ( F oF - G ) : I --> NN0 /\ ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin ) ) )
74	13, 73	syl 14	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) e. D <-> ( ( F oF - G ) : I --> NN0 /\ ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin ) ) )
75	37, 72, 74	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) e. D )
76	75, 50	jca 306	1 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) e. D /\ ( F oF - G ) oR <_ F ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   `'ccnv 4773   "cima 4777   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   oFcof 6300   oRcofr 6301   ^m cmap 6922   Fincfn 7022   0cc0 8179   <_ cle 8361   - cmin 8497   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-ofr 6303  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  psrbagconcl  15063