Theorem psrbagcon 14712

Description: The analogue of the statement " 0 <_ G <_ F implies 0 <_ F - G <_ F " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagcon	|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) e. D /\ ( F oF - G ) oR <_ F ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   f, G

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagcon

Dummy variables x j p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> p e. NN0 )
2	1	nn0zd 9603	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> p e. ZZ )
3		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> q e. NN0 )
4	3	nn0zd 9603	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> q e. ZZ )
5	2, 4	zsubcld 9610	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ ( p e. NN0 /\ q e. NN0 ) ) -> ( p - q ) e. ZZ )
6		psrbag.d	. . . . . . . 8 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
7	6	psrbagf 14706	. . . . . . 7 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
8	7	3ad2ant1 1044	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F : I --> NN0 )
9		simp2 1024	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G : I --> NN0 )
10		id 19	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F e. D )
11	7	ffnd 5483	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F Fn I )
12	10, 11	fndmexd 5526	. . . . . . 7 |- ( F e. D -> I e. _V )
13	12	3ad2ant1 1044	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> I e. _V )
14		inidm 3416	. . . . . 6 |- ( I i^i I ) = I
15	5, 8, 9, 13, 13, 14	off 6251	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) : I --> ZZ )
16	15	ffnd 5483	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) Fn I )
17	11	3ad2ant1 1044	. . . . . . 7 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F Fn I )
18	9	ffnd 5483	. . . . . . 7 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G Fn I )
19		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
20		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) )
21	8	ffvelcdmda 5783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
23	9	ffvelcdmda 5783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
24	23	nn0zd 9603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
25	22, 24	zsubcld 9610	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. ZZ )
26	17, 18, 13, 13, 14, 19, 20, 25	ofvalg 6248	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F oF - G ) ` x ) = ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) )
27		simp3 1025	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G oR <_ F )
28	18, 17, 13, 13, 14, 20, 19	ofrfval 6247	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( G oR <_ F <-> A. x e. I ( G ` x ) <_ ( F ` x ) ) )
29	27, 28	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. I ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
30	29	r19.21bi 2620	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
31		nn0sub 9549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G ` x ) e. NN0 /\ ( F ` x ) e. NN0 ) -> ( ( G ` x ) <_ ( F ` x ) <-> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. NN0 ) )
32	23, 21, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( G ` x ) <_ ( F ` x ) <-> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. NN0 ) )
33	30, 32	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. NN0 )
34	26, 33	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F oF - G ) ` x ) e. NN0 )
35	34	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. I ( ( F oF - G ) ` x ) e. NN0 )
36		ffnfv 5806	. . . 4 |- ( ( F oF - G ) : I --> NN0 <-> ( ( F oF - G ) Fn I /\ A. x e. I ( ( F oF - G ) ` x ) e. NN0 ) )
37	16, 35, 36	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) : I --> NN0 )
38		simp1 1023	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F e. D )
39	6	psrbag 14705	. . . . . . 7 |- ( I e. _V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
40	13, 39	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
41	38, 40	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
42	41	simprd 114	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' F " NN ) e. Fin )
43	23	nn0ge0d 9461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( G ` x ) )
44	21	nn0red 9459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. RR )
45	23	nn0red 9459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. RR )
46	44, 45	subge02d 8720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( 0 <_ ( G ` x ) <-> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) ) )
47	43, 46	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) )
48	47	ralrimiva 2605	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. I ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) )
49	16, 17, 13, 13, 14, 26, 19	ofrfval 6247	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) oR <_ F <-> A. x e. I ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) <_ ( F ` x ) ) )
50	48, 49	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) oR <_ F )
51	6	psrbaglesupp 14709	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ ( F oF - G ) : I --> NN0 /\ ( F oF - G ) oR <_ F ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) C_ ( `' F " NN ) )
52	38, 37, 50, 51	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) C_ ( `' F " NN ) )
53	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( F oF - G ) : I --> NN0 )
54		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> j e. ( `' F " NN ) )
55	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> F Fn I )
56		elpreima 5767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn I -> ( j e. ( `' F " NN ) <-> ( j e. I /\ ( F ` j ) e. NN ) ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. ( `' F " NN ) <-> ( j e. I /\ ( F ` j ) e. NN ) ) )
58	54, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. I /\ ( F ` j ) e. NN ) )
59	58	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> j e. I )
60	53, 59	ffvelcdmd 5784	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN0 )
61	60	nn0zd 9603	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( ( F oF - G ) ` j ) e. ZZ )
62		elnndc 9849	. . . . . . 7 |- ( ( ( F oF - G ) ` j ) e. ZZ -> DECID ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN )
63	61, 62	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> DECID ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN )
64		elpreima 5767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F oF - G ) Fn I -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( j e. I /\ ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) ) )
65	16, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( j e. I /\ ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( j e. I /\ ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) ) )
67	59, 66	mpbirand 441	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> ( j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) )
68	67	dcbid 845	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> (DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) <-> DECID ( ( F oF - G ) ` j ) e. NN ) )
69	63, 68	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ j e. ( `' F " NN ) ) -> DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) )
70	69	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. j e. ( `' F " NN )DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) )
71		ssfidc 7133	. . . 4 |- ( ( ( `' F " NN ) e. Fin /\ ( `' ( F oF - G ) " NN ) C_ ( `' F " NN ) /\ A. j e. ( `' F " NN )DECID j e. ( `' ( F oF - G ) " NN ) ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin )
72	42, 52, 70, 71	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin )
73	6	psrbag 14705	. . . 4 |- ( I e. _V -> ( ( F oF - G ) e. D <-> ( ( F oF - G ) : I --> NN0 /\ ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin ) ) )
74	13, 73	syl 14	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) e. D <-> ( ( F oF - G ) : I --> NN0 /\ ( `' ( F oF - G ) " NN ) e. Fin ) ) )
75	37, 72, 74	mpbir2and 952	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F oF - G ) e. D )
76	75, 50	jca 306	1 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( ( F oF - G ) e. D /\ ( F oF - G ) oR <_ F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   `'ccnv 4724   "cima 4728   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6021   oFcof 6236   oRcofr 6237   ^m cmap 6820   Fincfn 6912   0cc0 8035   <_ cle 8218   - cmin 8353   NNcn 9146   NN0cn0 9405   ZZcz 9482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-of 6238  df-ofr 6239  df-1o 6585  df-er 6705  df-map 6822  df-en 6913  df-fin 6915  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759

This theorem is referenced by:  psrbagconcl  14713