Theorem quselbasg 13762

Description: Membership in the base set of a quotient group. (Contributed by AV, 1-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quselbas.e	|- .~ = ( G ~QG S )
quselbas.u	|- U = ( G /.s .~ )
quselbas.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
quselbasg	|- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, X   x, .~

Allowed substitution hints:   S( x)   U( x)   G( x)   V( x)   W( x)   Z( x)

Proof of Theorem quselbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quselbas.u	. . . . . 6 |- U = ( G /.s .~ )
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> U = ( G /.s .~ ) )
3		quselbas.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> B = ( Base ` G ) )
5		quselbas.e	. . . . . 6 |- .~ = ( G ~QG S )
6		eqgex 13753	. . . . . . 7 |- ( ( G e. V /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
7	6	3adant2 1040	. . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
8	5, 7	eqeltrid 2316	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> .~ e. _V )
9		simp1 1021	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> G e. V )
10	2, 4, 8, 9	qusbas 13355	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( B /. .~ ) = ( Base ` U ) )
11	10	eqcomd 2235	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( Base ` U ) = ( B /. .~ ) )
12	11	eleq2d 2299	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> X e. ( B /. .~ ) ) )
13		elqsg 6730	. . 3 |- ( X e. W -> ( X e. ( B /. .~ ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )
14	13	3ad2ant2 1043	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( B /. .~ ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )
15	12, 14	bitrd 188	1 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   [cec 6676   /.cqs 6677   Basecbs 13027   /._s cqus 13328   ~_QG cqg 13701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-ec 6680  df-qs 6684  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-iimas 13330  df-qus 13331  df-eqg 13704

This theorem is referenced by: (None)