Theorem quselbasg 13162

Description: Membership in the base set of a quotient group. (Contributed by AV, 1-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quselbas.e	|- .~ = ( G ~QG S )
quselbas.u	|- U = ( G /.s .~ )
quselbas.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
quselbasg	|- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, X   x, .~

Allowed substitution hints:   S( x)   U( x)   G( x)   V( x)   W( x)   Z( x)

Proof of Theorem quselbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quselbas.u	. . . . . 6 |- U = ( G /.s .~ )
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> U = ( G /.s .~ ) )
3		quselbas.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> B = ( Base ` G ) )
5		quselbas.e	. . . . . 6 |- .~ = ( G ~QG S )
6		eqgex 13153	. . . . . . 7 |- ( ( G e. V /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
7	6	3adant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
8	5, 7	eqeltrid 2276	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> .~ e. _V )
9		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> G e. V )
10	2, 4, 8, 9	qusbas 12797	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( B /. .~ ) = ( Base ` U ) )
11	10	eqcomd 2195	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( Base ` U ) = ( B /. .~ ) )
12	11	eleq2d 2259	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> X e. ( B /. .~ ) ) )
13		elqsg 6606	. . 3 |- ( X e. W -> ( X e. ( B /. .~ ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )
14	13	3ad2ant2 1021	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( B /. .~ ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )
15	12, 14	bitrd 188	1 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   [cec 6552   /.cqs 6553   Basecbs 12507   /._s cqus 12770   ~_QG cqg 13101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-ec 6556  df-qs 6560  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-plusg 12595  df-mulr 12596  df-iimas 12772  df-qus 12773  df-eqg 13104

This theorem is referenced by: (None)