Theorem quselbasg 14010

Description: Membership in the base set of a quotient group. (Contributed by AV, 1-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quselbas.e	|- .~ = ( G ~QG S )
quselbas.u	|- U = ( G /.s .~ )
quselbas.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
quselbasg	|- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, X   x, .~

Allowed substitution hints:   S( x)   U( x)   G( x)   V( x)   W( x)   Z( x)

Proof of Theorem quselbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quselbas.u	. . . . . 6 |- U = ( G /.s .~ )
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> U = ( G /.s .~ ) )
3		quselbas.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> B = ( Base ` G ) )
5		quselbas.e	. . . . . 6 |- .~ = ( G ~QG S )
6		eqgex 14001	. . . . . . 7 |- ( ( G e. V /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
7	6	3adant2 1047	. . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
8	5, 7	eqeltrid 2325	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> .~ e. _V )
9		simp1 1028	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> G e. V )
10	2, 4, 8, 9	qusbas 13625	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( B /. .~ ) = ( Base ` U ) )
11	10	eqcomd 2244	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( Base ` U ) = ( B /. .~ ) )
12	11	eleq2d 2308	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> X e. ( B /. .~ ) ) )
13		elqsg 6849	. . 3 |- ( X e. W -> ( X e. ( B /. .~ ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )
14	13	3ad2ant2 1050	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( B /. .~ ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )
15	12, 14	bitrd 188	1 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   [cec 6795   /.cqs 6796   Basecbs 13330   /._s cqus 13600   ~_QG cqg 13949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-ec 6799  df-qs 6803  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-iimas 13601  df-qus 13602  df-eqg 13952

This theorem is referenced by: (None)