Theorem quselbasg 13360

Description: Membership in the base set of a quotient group. (Contributed by AV, 1-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quselbas.e	|- .~ = ( G ~QG S )
quselbas.u	|- U = ( G /.s .~ )
quselbas.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
quselbasg	|- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, X   x, .~

Allowed substitution hints:   S( x)   U( x)   G( x)   V( x)   W( x)   Z( x)

Proof of Theorem quselbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quselbas.u	. . . . . 6 |- U = ( G /.s .~ )
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> U = ( G /.s .~ ) )
3		quselbas.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> B = ( Base ` G ) )
5		quselbas.e	. . . . . 6 |- .~ = ( G ~QG S )
6		eqgex 13351	. . . . . . 7 |- ( ( G e. V /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
7	6	3adant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
8	5, 7	eqeltrid 2283	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> .~ e. _V )
9		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> G e. V )
10	2, 4, 8, 9	qusbas 12970	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( B /. .~ ) = ( Base ` U ) )
11	10	eqcomd 2202	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( Base ` U ) = ( B /. .~ ) )
12	11	eleq2d 2266	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> X e. ( B /. .~ ) ) )
13		elqsg 6644	. . 3 |- ( X e. W -> ( X e. ( B /. .~ ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )
14	13	3ad2ant2 1021	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( B /. .~ ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )
15	12, 14	bitrd 188	1 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   [cec 6590   /.cqs 6591   Basecbs 12678   /._s cqus 12943   ~_QG cqg 13299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-ec 6594  df-qs 6598  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-iimas 12945  df-qus 12946  df-eqg 13302

This theorem is referenced by: (None)