Theorem quselbasg 13641

Description: Membership in the base set of a quotient group. (Contributed by AV, 1-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quselbas.e	|- .~ = ( G ~QG S )
quselbas.u	|- U = ( G /.s .~ )
quselbas.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
quselbasg	|- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, X   x, .~

Allowed substitution hints:   S( x)   U( x)   G( x)   V( x)   W( x)   Z( x)

Proof of Theorem quselbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quselbas.u	. . . . . 6 |- U = ( G /.s .~ )
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> U = ( G /.s .~ ) )
3		quselbas.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> B = ( Base ` G ) )
5		quselbas.e	. . . . . 6 |- .~ = ( G ~QG S )
6		eqgex 13632	. . . . . . 7 |- ( ( G e. V /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
7	6	3adant2 1019	. . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
8	5, 7	eqeltrid 2293	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> .~ e. _V )
9		simp1 1000	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> G e. V )
10	2, 4, 8, 9	qusbas 13234	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( B /. .~ ) = ( Base ` U ) )
11	10	eqcomd 2212	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( Base ` U ) = ( B /. .~ ) )
12	11	eleq2d 2276	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> X e. ( B /. .~ ) ) )
13		elqsg 6685	. . 3 |- ( X e. W -> ( X e. ( B /. .~ ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )
14	13	3ad2ant2 1022	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( B /. .~ ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )
15	12, 14	bitrd 188	1 |- ( ( G e. V /\ X e. W /\ S e. Z ) -> ( X e. ( Base ` U ) <-> E. x e. B X = [ x ] .~ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   E.wrex 2486   _Vcvv 2773   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   [cec 6631   /.cqs 6632   Basecbs 12907   /._s cqus 13207   ~_QG cqg 13580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-ec 6635  df-qs 6639  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-iimas 13209  df-qus 13210  df-eqg 13583

This theorem is referenced by: (None)