Theorem quselbasg 14035

Description: Membership in the base set of a quotient group. (Contributed by AV, 1-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quselbas.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
quselbas.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
quselbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
quselbasg	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝑥, ∼

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem quselbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quselbas.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
3		quselbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5		quselbas.e	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
6		eqgex 14026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
7	6	3adant2 1047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
8	5, 7	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → ∼ ∈ V)
9		simp1 1028	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐺 ∈ 𝑉)
10	2, 4, 8, 9	qusbas 13650	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑈))
11	10	eqcomd 2244	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (Base‘𝑈) = (𝐵 / ∼ ))
12	11	eleq2d 2308	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ 𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ )))
13		elqsg 6859	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
14	13	3ad2ant2 1050	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
15	12, 14	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  [cec 6805   / cqs 6806  Basecbs 13354   /_s cqus 13625   ~_QG cqg 13974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-ec 6809  df-qs 6813  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-iimas 13626  df-qus 13627  df-eqg 13977

This theorem is used by: (None)