Theorem quselbasg 13610

Description: Membership in the base set of a quotient group. (Contributed by AV, 1-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quselbas.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
quselbas.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
quselbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
quselbasg	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝑥, ∼

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem quselbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quselbas.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
3		quselbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5		quselbas.e	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
6		eqgex 13601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
7	6	3adant2 1019	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
8	5, 7	eqeltrid 2293	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → ∼ ∈ V)
9		simp1 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐺 ∈ 𝑉)
10	2, 4, 8, 9	qusbas 13203	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑈))
11	10	eqcomd 2212	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (Base‘𝑈) = (𝐵 / ∼ ))
12	11	eleq2d 2276	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ 𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ )))
13		elqsg 6679	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
14	13	3ad2ant2 1022	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
15	12, 14	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486  Vcvv 2773  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  [cec 6625   / cqs 6626  Basecbs 12876   /_s cqus 13176   ~_QG cqg 13549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-ec 6629  df-qs 6633  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-iimas 13178  df-qus 13179  df-eqg 13552

This theorem is referenced by: (None)