Theorem quselbasg 13968

Description: Membership in the base set of a quotient group. (Contributed by AV, 1-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quselbas.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
quselbas.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
quselbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
quselbasg	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝑥, ∼

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem quselbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quselbas.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
3		quselbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5		quselbas.e	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
6		eqgex 13959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
7	6	3adant2 1043	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
8	5, 7	eqeltrid 2321	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → ∼ ∈ V)
9		simp1 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐺 ∈ 𝑉)
10	2, 4, 8, 9	qusbas 13561	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑈))
11	10	eqcomd 2240	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (Base‘𝑈) = (𝐵 / ∼ ))
12	11	eleq2d 2304	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ 𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ )))
13		elqsg 6821	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
14	13	3ad2ant2 1046	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
15	12, 14	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523  Vcvv 2815  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  [cec 6767   / cqs 6768  Basecbs 13233   /_s cqus 13534   ~_QG cqg 13907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-ec 6771  df-qs 6775  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-iimas 13536  df-qus 13537  df-eqg 13910

This theorem is referenced by: (None)