Theorem quselbasg 13733

Description: Membership in the base set of a quotient group. (Contributed by AV, 1-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quselbas.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
quselbas.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
quselbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
quselbasg	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝑥, ∼

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem quselbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quselbas.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
3		quselbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5		quselbas.e	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
6		eqgex 13724	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
7	6	3adant2 1021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
8	5, 7	eqeltrid 2296	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → ∼ ∈ V)
9		simp1 1002	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐺 ∈ 𝑉)
10	2, 4, 8, 9	qusbas 13326	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑈))
11	10	eqcomd 2215	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (Base‘𝑈) = (𝐵 / ∼ ))
12	11	eleq2d 2279	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ 𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ )))
13		elqsg 6702	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
14	13	3ad2ant2 1024	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
15	12, 14	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∃wrex 2489  Vcvv 2779  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  [cec 6648   / cqs 6649  Basecbs 12998   /_s cqus 13299   ~_QG cqg 13672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-ec 6652  df-qs 6656  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-iimas 13301  df-qus 13302  df-eqg 13675

This theorem is referenced by: (None)