Theorem quseccl0g 14011

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) Generalization of quseccl 14013 for arbitrary sets G. (Revised by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quseccl0.e	|- .~ = ( G ~QG S )
quseccl0.h	|- H = ( G /.s .~ )
quseccl0.c	|- C = ( Base ` G )
quseccl0.b	|- B = ( Base ` H )

Assertion

Ref	Expression
quseccl0g	|- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. B )

Proof of Theorem quseccl0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quseccl0.e	. . . 4 |- .~ = ( G ~QG S )
2		eqgex 14001	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
3	2	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> .~ e. _V )
5		simp2 1029	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> X e. C )
6		ecelqsg 6852	. . 3 |- ( ( .~ e. _V /\ X e. C ) -> [ X ] .~ e. ( C /. .~ ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 415	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. ( C /. .~ ) )
8		quseccl0.h	. . . . 5 |- H = ( G /.s .~ )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> H = ( G /.s .~ ) )
10		quseccl0.c	. . . . 5 |- C = ( Base ` G )
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> C = ( Base ` G ) )
12		simp1 1028	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> G e. V )
13	9, 11, 4, 12	qusbas 13625	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( C /. .~ ) = ( Base ` H ) )
14		quseccl0.b	. . 3 |- B = ( Base ` H )
15	13, 14	eqtr4di 2289	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( C /. .~ ) = B )
16	7, 15	eleqtrd 2317	1 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   [cec 6795   /.cqs 6796   Basecbs 13330   /._s cqus 13600   ~_QG cqg 13949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-ec 6799  df-qs 6803  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-iimas 13601  df-qus 13602  df-eqg 13952

This theorem is referenced by:  quseccl  14013  ecqusaddcl  14019