Theorem quseccl0g 13567

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) Generalization of quseccl 13569 for arbitrary sets G. (Revised by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quseccl0.e	|- .~ = ( G ~QG S )
quseccl0.h	|- H = ( G /.s .~ )
quseccl0.c	|- C = ( Base ` G )
quseccl0.b	|- B = ( Base ` H )

Assertion

Ref	Expression
quseccl0g	|- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. B )

Proof of Theorem quseccl0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quseccl0.e	. . . 4 |- .~ = ( G ~QG S )
2		eqgex 13557	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
3	2	3adant2 1019	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2292	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> .~ e. _V )
5		simp2 1001	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> X e. C )
6		ecelqsg 6675	. . 3 |- ( ( .~ e. _V /\ X e. C ) -> [ X ] .~ e. ( C /. .~ ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. ( C /. .~ ) )
8		quseccl0.h	. . . . 5 |- H = ( G /.s .~ )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> H = ( G /.s .~ ) )
10		quseccl0.c	. . . . 5 |- C = ( Base ` G )
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> C = ( Base ` G ) )
12		simp1 1000	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> G e. V )
13	9, 11, 4, 12	qusbas 13159	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( C /. .~ ) = ( Base ` H ) )
14		quseccl0.b	. . 3 |- B = ( Base ` H )
15	13, 14	eqtr4di 2256	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( C /. .~ ) = B )
16	7, 15	eleqtrd 2284	1 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   [cec 6618   /.cqs 6619   Basecbs 12832   /._s cqus 13132   ~_QG cqg 13505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-ec 6622  df-qs 6626  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-iimas 13134  df-qus 13135  df-eqg 13508

This theorem is referenced by:  quseccl  13569  ecqusaddcl  13575