Theorem quseccl0g 13881

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) Generalization of quseccl 13883 for arbitrary sets G. (Revised by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quseccl0.e	|- .~ = ( G ~QG S )
quseccl0.h	|- H = ( G /.s .~ )
quseccl0.c	|- C = ( Base ` G )
quseccl0.b	|- B = ( Base ` H )

Assertion

Ref	Expression
quseccl0g	|- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. B )

Proof of Theorem quseccl0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quseccl0.e	. . . 4 |- .~ = ( G ~QG S )
2		eqgex 13871	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
3	2	3adant2 1043	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> .~ e. _V )
5		simp2 1025	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> X e. C )
6		ecelqsg 6800	. . 3 |- ( ( .~ e. _V /\ X e. C ) -> [ X ] .~ e. ( C /. .~ ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. ( C /. .~ ) )
8		quseccl0.h	. . . . 5 |- H = ( G /.s .~ )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> H = ( G /.s .~ ) )
10		quseccl0.c	. . . . 5 |- C = ( Base ` G )
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> C = ( Base ` G ) )
12		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> G e. V )
13	9, 11, 4, 12	qusbas 13473	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( C /. .~ ) = ( Base ` H ) )
14		quseccl0.b	. . 3 |- B = ( Base ` H )
15	13, 14	eqtr4di 2282	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( C /. .~ ) = B )
16	7, 15	eleqtrd 2310	1 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   [cec 6743   /.cqs 6744   Basecbs 13145   /._s cqus 13446   ~_QG cqg 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-ec 6747  df-qs 6751  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-iimas 13448  df-qus 13449  df-eqg 13822

This theorem is referenced by:  quseccl  13883  ecqusaddcl  13889