Theorem quseccl0g 13817

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) Generalization of quseccl 13819 for arbitrary sets G. (Revised by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quseccl0.e	|- .~ = ( G ~QG S )
quseccl0.h	|- H = ( G /.s .~ )
quseccl0.c	|- C = ( Base ` G )
quseccl0.b	|- B = ( Base ` H )

Assertion

Ref	Expression
quseccl0g	|- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. B )

Proof of Theorem quseccl0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quseccl0.e	. . . 4 |- .~ = ( G ~QG S )
2		eqgex 13807	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
3	2	3adant2 1042	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> .~ e. _V )
5		simp2 1024	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> X e. C )
6		ecelqsg 6756	. . 3 |- ( ( .~ e. _V /\ X e. C ) -> [ X ] .~ e. ( C /. .~ ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. ( C /. .~ ) )
8		quseccl0.h	. . . . 5 |- H = ( G /.s .~ )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> H = ( G /.s .~ ) )
10		quseccl0.c	. . . . 5 |- C = ( Base ` G )
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> C = ( Base ` G ) )
12		simp1 1023	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> G e. V )
13	9, 11, 4, 12	qusbas 13409	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( C /. .~ ) = ( Base ` H ) )
14		quseccl0.b	. . 3 |- B = ( Base ` H )
15	13, 14	eqtr4di 2282	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( C /. .~ ) = B )
16	7, 15	eleqtrd 2310	1 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   [cec 6699   /.cqs 6700   Basecbs 13081   /._s cqus 13382   ~_QG cqg 13755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-ec 6703  df-qs 6707  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-iimas 13384  df-qus 13385  df-eqg 13758

This theorem is referenced by:  quseccl  13819  ecqusaddcl  13825