Theorem quseccl0g 13361

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) Generalization of quseccl 13363 for arbitrary sets G. (Revised by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quseccl0.e	|- .~ = ( G ~QG S )
quseccl0.h	|- H = ( G /.s .~ )
quseccl0.c	|- C = ( Base ` G )
quseccl0.b	|- B = ( Base ` H )

Assertion

Ref	Expression
quseccl0g	|- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. B )

Proof of Theorem quseccl0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quseccl0.e	. . . 4 |- .~ = ( G ~QG S )
2		eqgex 13351	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
3	2	3adant2 1018	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( G ~QG S ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2283	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> .~ e. _V )
5		simp2 1000	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> X e. C )
6		ecelqsg 6647	. . 3 |- ( ( .~ e. _V /\ X e. C ) -> [ X ] .~ e. ( C /. .~ ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. ( C /. .~ ) )
8		quseccl0.h	. . . . 5 |- H = ( G /.s .~ )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> H = ( G /.s .~ ) )
10		quseccl0.c	. . . . 5 |- C = ( Base ` G )
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> C = ( Base ` G ) )
12		simp1 999	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> G e. V )
13	9, 11, 4, 12	qusbas 12970	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( C /. .~ ) = ( Base ` H ) )
14		quseccl0.b	. . 3 |- B = ( Base ` H )
15	13, 14	eqtr4di 2247	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> ( C /. .~ ) = B )
16	7, 15	eleqtrd 2275	1 |- ( ( G e. V /\ X e. C /\ S e. Z ) -> [ X ] .~ e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   [cec 6590   /.cqs 6591   Basecbs 12678   /._s cqus 12943   ~_QG cqg 13299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-ec 6594  df-qs 6598  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-iimas 12945  df-qus 12946  df-eqg 13302

This theorem is referenced by:  quseccl  13363  ecqusaddcl  13369