Theorem resghm2 13849

Description: One direction of resghm2b 13850. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resghm2.u	|- U = ( T ↾s X )

Assertion

Ref	Expression
resghm2	|- ( ( F e. ( S GrpHom U ) /\ X e. (SubGrp ` T ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )

Proof of Theorem resghm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhm 13841	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom U ) -> F e. ( S MndHom U ) )
2		subgsubm 13784	. . 3 |- ( X e. (SubGrp ` T ) -> X e. (SubMnd ` T ) )
3		resghm2.u	. . . 4 |- U = ( T ↾s X )
4	3	resmhm2 13572	. . 3 |- ( ( F e. ( S MndHom U ) /\ X e. (SubMnd ` T ) ) -> F e. ( S MndHom T ) )
5	1, 2, 4	syl2an 289	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom U ) /\ X e. (SubGrp ` T ) ) -> F e. ( S MndHom T ) )
6		ghmgrp1 13833	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom U ) -> S e. Grp )
7		subgrcl 13767	. . 3 |- ( X e. (SubGrp ` T ) -> T e. Grp )
8		ghmmhmb 13842	. . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) = ( S MndHom T ) )
9	6, 7, 8	syl2an 289	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom U ) /\ X e. (SubGrp ` T ) ) -> ( S GrpHom T ) = ( S MndHom T ) )
10	5, 9	eleqtrrd 2311	1 |- ( ( F e. ( S GrpHom U ) /\ X e. (SubGrp ` T ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ↾_s cress 13084   MndHom cmhm 13541  SubMndcsubmnd 13542   Grpcgrp 13584  SubGrpcsubg 13755   GrpHom cghm 13828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-base 13089  df-sets 13090  df-iress 13091  df-plusg 13174  df-0g 13342  df-mgm 13440  df-sgrp 13486  df-mnd 13501  df-mhm 13543  df-submnd 13544  df-grp 13587  df-minusg 13588  df-subg 13758  df-ghm 13829

This theorem is referenced by: (None)