Theorem subgrcl 14031

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 14025	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1043	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13401   ↾_s cress 13402   Grpcgrp 13854  SubGrpcsubg 14019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-subg 14022

This theorem is used by:  subg0  14032  subginv  14033  subgcl  14036  subgsub  14038  subgmulgcl  14039  subgmulg  14040  subgsubm  14048  subsubg  14049  subgintm  14050  isnsg  14054  nsgconj  14058  isnsg3  14059  ssnmz  14063  nmznsg  14065  eqger  14076  eqgid  14078  eqgen  14079  eqgcpbl  14080  qusgrp  14084  quseccl  14085  qusadd  14086  qus0  14087  qusinv  14088  qussub  14089  ecqusaddcl  14091  resghm  14112  resghm2  14113  resghm2b  14114  conjsubg  14129  conjsubgen  14130  conjnmz  14131  conjnmzb  14132  qusghm  14134  issubrng2  14567  issubrg2  14598