Theorem subgrcl 14035

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 14029	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1043	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   ↾_s cress 13405   Grpcgrp 13858  SubGrpcsubg 14023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-subg 14026

This theorem is used by:  subg0  14036  subginv  14037  subgcl  14040  subgsub  14042  subgmulgcl  14043  subgmulg  14044  subgsubm  14052  subsubg  14053  subgintm  14054  isnsg  14058  nsgconj  14062  isnsg3  14063  ssnmz  14067  nmznsg  14069  eqger  14080  eqgid  14082  eqgen  14083  eqgcpbl  14084  qusgrp  14088  quseccl  14089  qusadd  14090  qus0  14091  qusinv  14092  qussub  14093  ecqusaddcl  14095  resghm  14116  resghm2  14117  resghm2b  14118  conjsubg  14133  conjsubgen  14134  conjnmz  14135  conjnmzb  14136  qusghm  14138  cntrsubgnsg  14169  issubrng2  14602  issubrg2  14633