Theorem subgrcl 13486

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 13480	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1014	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2175   C_ wss 3165   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   ↾_s cress 12804   Grpcgrp 13303  SubGrpcsubg 13474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-subg 13477

This theorem is referenced by:  subg0  13487  subginv  13488  subgcl  13491  subgsub  13493  subgmulgcl  13494  subgmulg  13495  subgsubm  13503  subsubg  13504  subgintm  13505  isnsg  13509  nsgconj  13513  isnsg3  13514  ssnmz  13518  nmznsg  13520  eqger  13531  eqgid  13533  eqgen  13534  eqgcpbl  13535  qusgrp  13539  quseccl  13540  qusadd  13541  qus0  13542  qusinv  13543  qussub  13544  ecqusaddcl  13546  resghm  13567  resghm2  13568  resghm2b  13569  conjsubg  13584  conjsubgen  13585  conjnmz  13586  conjnmzb  13587  qusghm  13589  issubrng2  13943  issubrg2  13974