Theorem subgrcl 13319

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 13313	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1014	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Basecbs 12688   ↾_s cress 12689   Grpcgrp 13142  SubGrpcsubg 13307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1re 7975  ax-addrcl 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5926  df-inn 8993  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-subg 13310

This theorem is referenced by:  subg0  13320  subginv  13321  subgcl  13324  subgsub  13326  subgmulgcl  13327  subgmulg  13328  subgsubm  13336  subsubg  13337  subgintm  13338  isnsg  13342  nsgconj  13346  isnsg3  13347  ssnmz  13351  nmznsg  13353  eqger  13364  eqgid  13366  eqgen  13367  eqgcpbl  13368  qusgrp  13372  quseccl  13373  qusadd  13374  qus0  13375  qusinv  13376  qussub  13377  ecqusaddcl  13379  resghm  13400  resghm2  13401  resghm2b  13402  conjsubg  13417  conjsubgen  13418  conjnmz  13419  conjnmzb  13420  qusghm  13422  issubrng2  13776  issubrg2  13807