Theorem subgrcl 13711

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 13705	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1036	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   C_ wss 3197   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   ↾_s cress 13028   Grpcgrp 13528  SubGrpcsubg 13699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-subg 13702

This theorem is referenced by:  subg0  13712  subginv  13713  subgcl  13716  subgsub  13718  subgmulgcl  13719  subgmulg  13720  subgsubm  13728  subsubg  13729  subgintm  13730  isnsg  13734  nsgconj  13738  isnsg3  13739  ssnmz  13743  nmznsg  13745  eqger  13756  eqgid  13758  eqgen  13759  eqgcpbl  13760  qusgrp  13764  quseccl  13765  qusadd  13766  qus0  13767  qusinv  13768  qussub  13769  ecqusaddcl  13771  resghm  13792  resghm2  13793  resghm2b  13794  conjsubg  13809  conjsubgen  13810  conjnmz  13811  conjnmzb  13812  qusghm  13814  issubrng2  14168  issubrg2  14199