Theorem subgrcl 13630

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 13624	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1015	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   C_ wss 3174   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   ↾_s cress 12948   Grpcgrp 13447  SubGrpcsubg 13618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-subg 13621

This theorem is referenced by:  subg0  13631  subginv  13632  subgcl  13635  subgsub  13637  subgmulgcl  13638  subgmulg  13639  subgsubm  13647  subsubg  13648  subgintm  13649  isnsg  13653  nsgconj  13657  isnsg3  13658  ssnmz  13662  nmznsg  13664  eqger  13675  eqgid  13677  eqgen  13678  eqgcpbl  13679  qusgrp  13683  quseccl  13684  qusadd  13685  qus0  13686  qusinv  13687  qussub  13688  ecqusaddcl  13690  resghm  13711  resghm2  13712  resghm2b  13713  conjsubg  13728  conjsubgen  13729  conjnmz  13730  conjnmzb  13731  qusghm  13733  issubrng2  14087  issubrg2  14118