Theorem subgrcl 14040

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 14034	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1043	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13409   ↾_s cress 13410   Grpcgrp 13863  SubGrpcsubg 14028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-subg 14031

This theorem is used by:  subg0  14041  subginv  14042  subgcl  14045  subgsub  14047  subgmulgcl  14048  subgmulg  14049  subgsubm  14057  subsubg  14058  subgintm  14059  isnsg  14063  nsgconj  14067  isnsg3  14068  ssnmz  14072  nmznsg  14074  eqger  14085  eqgid  14087  eqgen  14088  eqgcpbl  14089  qusgrp  14093  quseccl  14094  qusadd  14095  qus0  14096  qusinv  14097  qussub  14098  ecqusaddcl  14100  resghm  14121  resghm2  14122  resghm2b  14123  conjsubg  14138  conjsubgen  14139  conjnmz  14140  conjnmzb  14141  qusghm  14143  cntrsubgnsg  14174  issubrng2  14626  issubrg2  14657