Theorem subgrcl 13515

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 13509	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1015	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   C_ wss 3166   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   ↾_s cress 12833   Grpcgrp 13332  SubGrpcsubg 13503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-subg 13506

This theorem is referenced by:  subg0  13516  subginv  13517  subgcl  13520  subgsub  13522  subgmulgcl  13523  subgmulg  13524  subgsubm  13532  subsubg  13533  subgintm  13534  isnsg  13538  nsgconj  13542  isnsg3  13543  ssnmz  13547  nmznsg  13549  eqger  13560  eqgid  13562  eqgen  13563  eqgcpbl  13564  qusgrp  13568  quseccl  13569  qusadd  13570  qus0  13571  qusinv  13572  qussub  13573  ecqusaddcl  13575  resghm  13596  resghm2  13597  resghm2b  13598  conjsubg  13613  conjsubgen  13614  conjnmz  13615  conjnmzb  13616  qusghm  13618  issubrng2  13972  issubrg2  14003