Theorem subgrcl 13784

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 13778	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1038	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   C_ wss 3200   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   ↾_s cress 13101   Grpcgrp 13601  SubGrpcsubg 13772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-subg 13775

This theorem is referenced by:  subg0  13785  subginv  13786  subgcl  13789  subgsub  13791  subgmulgcl  13792  subgmulg  13793  subgsubm  13801  subsubg  13802  subgintm  13803  isnsg  13807  nsgconj  13811  isnsg3  13812  ssnmz  13816  nmznsg  13818  eqger  13829  eqgid  13831  eqgen  13832  eqgcpbl  13833  qusgrp  13837  quseccl  13838  qusadd  13839  qus0  13840  qusinv  13841  qussub  13842  ecqusaddcl  13844  resghm  13865  resghm2  13866  resghm2b  13867  conjsubg  13882  conjsubgen  13883  conjnmz  13884  conjnmzb  13885  qusghm  13887  issubrng2  14243  issubrg2  14274