Theorem subgrcl 13959

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 13953	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1043	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   ↾_s cress 13331   Grpcgrp 13782  SubGrpcsubg 13947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-subg 13950

This theorem is referenced by:  subg0  13960  subginv  13961  subgcl  13964  subgsub  13966  subgmulgcl  13967  subgmulg  13968  subgsubm  13976  subsubg  13977  subgintm  13978  isnsg  13982  nsgconj  13986  isnsg3  13987  ssnmz  13991  nmznsg  13993  eqger  14004  eqgid  14006  eqgen  14007  eqgcpbl  14008  qusgrp  14012  quseccl  14013  qusadd  14014  qus0  14015  qusinv  14016  qussub  14017  ecqusaddcl  14019  resghm  14040  resghm2  14041  resghm2b  14042  conjsubg  14057  conjsubgen  14058  conjnmz  14059  conjnmzb  14060  qusghm  14062  issubrng2  14491  issubrg2  14522