Theorem subgrcl 13756

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 13750	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1036	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   C_ wss 3198   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   ↾_s cress 13073   Grpcgrp 13573  SubGrpcsubg 13744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9134  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-subg 13747

This theorem is referenced by:  subg0  13757  subginv  13758  subgcl  13761  subgsub  13763  subgmulgcl  13764  subgmulg  13765  subgsubm  13773  subsubg  13774  subgintm  13775  isnsg  13779  nsgconj  13783  isnsg3  13784  ssnmz  13788  nmznsg  13790  eqger  13801  eqgid  13803  eqgen  13804  eqgcpbl  13805  qusgrp  13809  quseccl  13810  qusadd  13811  qus0  13812  qusinv  13813  qussub  13814  ecqusaddcl  13816  resghm  13837  resghm2  13838  resghm2b  13839  conjsubg  13854  conjsubgen  13855  conjnmz  13856  conjnmzb  13857  qusghm  13859  issubrng2  14214  issubrg2  14245