Theorem subgrcl 14041

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 14035	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1043	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   ↾_s cress 13411   Grpcgrp 13864  SubGrpcsubg 14029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-subg 14032

This theorem is used by:  subg0  14042  subginv  14043  subgcl  14046  subgsub  14048  subgmulgcl  14049  subgmulg  14050  subgsubm  14058  subsubg  14059  subgintm  14060  isnsg  14064  nsgconj  14068  isnsg3  14069  ssnmz  14073  nmznsg  14075  eqger  14086  eqgid  14088  eqgen  14089  eqgcpbl  14090  qusgrp  14094  quseccl  14095  qusadd  14096  qus0  14097  qusinv  14098  qussub  14099  ecqusaddcl  14101  resghm  14122  resghm2  14123  resghm2b  14124  conjsubg  14139  conjsubgen  14140  conjnmz  14141  conjnmzb  14142  qusghm  14144  cntrsubgnsg  14175  issubrng2  14627  issubrg2  14658