Theorem subgrcl 13731

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 13725	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1036	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   C_ wss 3197   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047   ↾_s cress 13048   Grpcgrp 13548  SubGrpcsubg 13719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-subg 13722

This theorem is referenced by:  subg0  13732  subginv  13733  subgcl  13736  subgsub  13738  subgmulgcl  13739  subgmulg  13740  subgsubm  13748  subsubg  13749  subgintm  13750  isnsg  13754  nsgconj  13758  isnsg3  13759  ssnmz  13763  nmznsg  13765  eqger  13776  eqgid  13778  eqgen  13779  eqgcpbl  13780  qusgrp  13784  quseccl  13785  qusadd  13786  qus0  13787  qusinv  13788  qussub  13789  ecqusaddcl  13791  resghm  13812  resghm2  13813  resghm2b  13814  conjsubg  13829  conjsubgen  13830  conjnmz  13831  conjnmzb  13832  qusghm  13834  issubrng2  14189  issubrg2  14220