Theorem ringmgp 13558

Description: A ring is a monoid under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringmgp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringmgp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem ringmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		ringmgp.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2196	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2196	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 13556	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp2bi 1015	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  Mndcmnd 13057  Grpcgrp 13132  mulGrpcmgp 13476  Ringcrg 13552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-ring 13554

This theorem is referenced by:  mgpf  13567  ringcl  13569  iscrng2  13571  ringass  13572  ringideu  13573  ringidcl  13576  ringidmlem  13578  ringsrg  13603  unitsubm  13675  invrpropdg  13705  dfrhm2  13710  isrhm2d  13721  subrgcrng  13781  subrgsubm  13790  subrgugrp  13796  issubrg3  13803  cnfldexp  14133