Theorem ringmgp 13814

Description: A ring is a monoid under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringmgp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringmgp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem ringmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		ringmgp.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2206	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2206	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 13812	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp2bi 1016	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  Basecbs 12882  +_gcplusg 12959  ._rcmulr 12960  Mndcmnd 13298  Grpcgrp 13382  mulGrpcmgp 13732  Ringcrg 13808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1re 8032  ax-addrcl 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-fv 5285  df-ov 5957  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-ring 13810

This theorem is referenced by:  mgpf  13823  ringcl  13825  iscrng2  13827  ringass  13828  ringideu  13829  ringidcl  13832  ringidmlem  13834  ringsrg  13859  unitsubm  13931  invrpropdg  13961  dfrhm2  13966  isrhm2d  13977  subrgcrng  14037  subrgsubm  14046  subrgugrp  14052  issubrg3  14059  cnfldexp  14389