Theorem issubrg3 14664

Description: A subring is an additive subgroup which is also a multiplicative submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubrg3.m	|- M = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
issubrg3	|- ( R e. Ring -> ( S e. (SubRing ` R ) <-> ( S e. (SubGrp ` R ) /\ S e. (SubMnd ` M ) ) ) )

Proof of Theorem issubrg3

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2238	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4	1, 2, 3	issubrg2 14658	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( S e. (SubRing ` R ) <-> ( S e. (SubGrp ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) ) )
5		3anass 1013	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) <-> ( S e. (SubGrp ` R ) /\ ( ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) ) )
6	4, 5	bitrdi 196	. 2 |- ( R e. Ring -> ( S e. (SubRing ` R ) <-> ( S e. (SubGrp ` R ) /\ ( ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) ) ) )
7	1	subgss 14036	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` R ) -> S C_ ( Base ` R ) )
8		issubrg3.m	. . . . . . . . 9 |- M = (mulGrp ` R )
9	8	ringmgp 14413	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> M e. Mnd )
10		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
11		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
12		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
13	10, 11, 12	issubm 13838	. . . . . . . 8 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
15	8, 1	mgpbasg 14331	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
16	15	sseq2d 3278	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( S C_ ( Base ` R ) <-> S C_ ( Base ` M ) ) )
17	8, 2	ringidvalg 14371	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` M ) )
18	17	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) e. S <-> ( 0g ` M ) e. S ) )
19	8, 3	mgpplusgg 14328	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( .r ` R ) = ( +g ` M ) )
20	19	oveqd 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( x ( .r ` R ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
21	20	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( ( x ( .r ` R ) y ) e. S <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
22	21	2ralbidv 2574	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
23	16, 18, 22	3anbi123d 1353	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( ( S C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
24	14, 23	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) ) )
25		3anass 1013	. . . . . 6 |- ( ( S C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) <-> ( S C_ ( Base ` R ) /\ ( ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) ) )
26	24, 25	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ ( Base ` R ) /\ ( ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) ) ) )
27	26	baibd 935	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ ( Base ` R ) ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) ) )
28	7, 27	sylan2 286	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ S e. (SubGrp ` R ) ) -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) ) )
29	28	pm5.32da 456	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( S e. (SubGrp ` R ) /\ S e. (SubMnd ` M ) ) <-> ( S e. (SubGrp ` R ) /\ ( ( 1r ` R ) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` R ) y ) e. S ) ) ) )
30	6, 29	bitr4d 191	1 |- ( R e. Ring -> ( S e. (SubRing ` R ) <-> ( S e. (SubGrp ` R ) /\ S e. (SubMnd ` M ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491   0gc0g 13669   Mndcmnd 13788  SubMndcsubmnd 13824  SubGrpcsubg 14029  mulGrpcmgp 14324   1rcur 14369   Ringcrg 14407  SubRingcsubrg 14634

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-submnd 13826  df-subg 14032  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-subrg 14636

This theorem is used by:  rhmeql  14667  rhmima  14668