Theorem ringsrg 14079

Description: Any ring is also a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ringsrg	|- ( R e. Ring -> R e. SRing )

Proof of Theorem ringsrg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcmn 14065	. 2 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
2		eqid 2231	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3	2	ringmgp 14034	. 2 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
4		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		eqid 2231	. . . . 5 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
7	4, 2, 5, 6	isring 14032	. . . 4 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
8	7	simp3bi 1040	. . 3 |- ( R e. Ring -> A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) )
9		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
10	4, 6, 9	ringlz 14075	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) )
11	4, 6, 9	ringrz 14076	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
12	10, 11	jca 306	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
13	12	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( R e. Ring -> A. x e. ( Base ` R ) ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
14		r19.26 2659	. . 3 |- ( A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ A. x e. ( Base ` R ) ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
15	8, 13, 14	sylanbrc 417	. 2 |- ( R e. Ring -> A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
16	4, 2, 5, 6, 9	issrg 13997	. 2 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
17	1, 3, 15, 16	syl3anbrc 1207	1 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   .rcmulr 13179   0gc0g 13357   Mndcmnd 13517   Grpcgrp 13601  CMndccmn 13889  mulGrpcmgp 13952  SRingcsrg 13995   Ringcrg 14028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-cmn 13891  df-abl 13892  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-srg 13996  df-ring 14030

This theorem is referenced by:  qusring2  14098  dvdsrcl2  14132  dvdsrid  14133  dvdsrtr  14134  dvdsrmul1  14135  dvdsrneg  14136  dvdsr01  14137  dvdsr02  14138  1unit  14140  opprunitd  14143  crngunit  14144  unitmulcl  14146  unitmulclb  14147  unitgrp  14149  unitabl  14150  unitgrpid  14151  unitsubm  14152  unitinvcl  14156  unitinvinv  14157  ringinvcl  14158  unitlinv  14159  unitrinv  14160  unitnegcl  14163  dvrvald  14167  unitdvcl  14169  dvrid  14170  dvrcan1  14173  dvrcan3  14174  dvreq1  14175  dvrdir  14176  rdivmuldivd  14177  unitpropdg  14181  invrpropdg  14182  rhmdvdsr  14208  elrhmunit  14210  rhmunitinv  14211  subrgdvds  14268  subrguss  14269  subrginv  14270  subrgunit  14272  subrgugrp  14273  subrgintm  14276  unitrrg  14300  rspsn  14567  cnfldui  14622  dvdsrzring  14636  znunit  14692