Theorem ringsrg 13679

Description: Any ring is also a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ringsrg	|- ( R e. Ring -> R e. SRing )

Proof of Theorem ringsrg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcmn 13665	. 2 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
2		eqid 2196	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3	2	ringmgp 13634	. 2 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
4		eqid 2196	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5		eqid 2196	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		eqid 2196	. . . . 5 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
7	4, 2, 5, 6	isring 13632	. . . 4 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
8	7	simp3bi 1016	. . 3 |- ( R e. Ring -> A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) )
9		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
10	4, 6, 9	ringlz 13675	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) )
11	4, 6, 9	ringrz 13676	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
12	10, 11	jca 306	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
13	12	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( R e. Ring -> A. x e. ( Base ` R ) ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
14		r19.26 2623	. . 3 |- ( A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ A. x e. ( Base ` R ) ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
15	8, 13, 14	sylanbrc 417	. 2 |- ( R e. Ring -> A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
16	4, 2, 5, 6, 9	issrg 13597	. 2 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
17	1, 3, 15, 16	syl3anbrc 1183	1 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   .rcmulr 12781   0gc0g 12958   Mndcmnd 13118   Grpcgrp 13202  CMndccmn 13490  mulGrpcmgp 13552  SRingcsrg 13595   Ringcrg 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-srg 13596  df-ring 13630

This theorem is referenced by:  qusring2  13698  dvdsrcl2  13731  dvdsrid  13732  dvdsrtr  13733  dvdsrmul1  13734  dvdsrneg  13735  dvdsr01  13736  dvdsr02  13737  1unit  13739  opprunitd  13742  crngunit  13743  unitmulcl  13745  unitmulclb  13746  unitgrp  13748  unitabl  13749  unitgrpid  13750  unitsubm  13751  unitinvcl  13755  unitinvinv  13756  ringinvcl  13757  unitlinv  13758  unitrinv  13759  unitnegcl  13762  dvrvald  13766  unitdvcl  13768  dvrid  13769  dvrcan1  13772  dvrcan3  13773  dvreq1  13774  dvrdir  13775  rdivmuldivd  13776  unitpropdg  13780  invrpropdg  13781  rhmdvdsr  13807  elrhmunit  13809  rhmunitinv  13810  subrgdvds  13867  subrguss  13868  subrginv  13869  subrgunit  13871  subrgugrp  13872  subrgintm  13875  unitrrg  13899  rspsn  14166  cnfldui  14221  dvdsrzring  14235  znunit  14291