Theorem rlmvnegg 14911

Description: Vector negation in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvnegg	|- ( R e. V -> ( invg ` R ) = ( invg ` (ringLMod ` R ) ) )

Proof of Theorem rlmvnegg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2239	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
2		rlmbasg 14901	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
3		id 19	. 2 |- ( R e. V -> R e. V )
4		rlmfn 14899	. . 3 |- ringLMod Fn _V
5		elex 2833	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
6		funfvex 5715	. . . 4 |- ( ( Fun ringLMod /\ R e. dom ringLMod ) -> (ringLMod ` R ) e. _V )
7	6	funfni 5486	. . 3 |- ( (ringLMod Fn _V /\ R e. _V ) -> (ringLMod ` R ) e. _V )
8	4, 5, 7	sylancr 418	. 2 |- ( R e. V -> (ringLMod ` R ) e. _V )
9		rlmplusgg 14902	. . 3 |- ( R e. V -> ( +g ` R ) = ( +g ` (ringLMod ` R ) ) )
10	9	oveqdr 6116	. 2 |- ( ( R e. V /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` (ringLMod ` R ) ) y ) )
11	1, 2, 3, 8, 10	grpinvpropdg 13939	1 |- ( R e. V -> ( invg ` R ) = ( invg ` (ringLMod ` R ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   Fn wfn 5375   ` cfv 5380   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   invgcminusg 13865  ringLModcrglmod 14880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-0g 13671  df-minusg 13868  df-sra 14881  df-rgmod 14882

This theorem is used by:  lidlnegcl  14931