Theorem rlmvnegg 14613

Description: Vector negation in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvnegg	|- ( R e. V -> ( invg ` R ) = ( invg ` (ringLMod ` R ) ) )

Proof of Theorem rlmvnegg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2233	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
2		rlmbasg 14603	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
3		id 19	. 2 |- ( R e. V -> R e. V )
4		rlmfn 14601	. . 3 |- ringLMod Fn _V
5		elex 2825	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
6		funfvex 5687	. . . 4 |- ( ( Fun ringLMod /\ R e. dom ringLMod ) -> (ringLMod ` R ) e. _V )
7	6	funfni 5458	. . 3 |- ( (ringLMod Fn _V /\ R e. _V ) -> (ringLMod ` R ) e. _V )
8	4, 5, 7	sylancr 414	. 2 |- ( R e. V -> (ringLMod ` R ) e. _V )
9		rlmplusgg 14604	. . 3 |- ( R e. V -> ( +g ` R ) = ( +g ` (ringLMod ` R ) ) )
10	9	oveqdr 6078	. 2 |- ( ( R e. V /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` (ringLMod ` R ) ) y ) )
11	1, 2, 3, 8, 10	grpinvpropdg 13788	1 |- ( R e. V -> ( invg ` R ) = ( invg ` (ringLMod ` R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   Fn wfn 5347   ` cfv 5352   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   invgcminusg 13714  ringLModcrglmod 14582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-ip 13308  df-0g 13471  df-minusg 13717  df-sra 14583  df-rgmod 14584

This theorem is referenced by:  lidlnegcl  14633