Theorem rng2idl0 14595

Description: The zero (additive identity) of a non-unital ring is an element of each two-sided ideal of the ring which is a non-unital ring. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlsubrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlsubrng.u	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)

Assertion

Ref	Expression
rng2idl0	⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rng2idl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubrng.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlsubrng.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlsubrng.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
4	1, 2, 3	rng2idlsubrng 14593	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
5		subrngsubg 14280	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6		eqid 2231	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	6	subg0cl 13830	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
8	4, 5, 7	3syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ↾_s cress 13144  0_gc0g 13400  SubGrpcsubg 13815  Rngcrng 14007  SubRngcsubrng 14273  2Idealc2idl 14575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-subg 13818  df-abl 13935  df-rng 14008  df-subrng 14274  df-lssm 14429  df-sra 14511  df-rgmod 14512  df-lidl 14545  df-2idl 14576

This theorem is referenced by: (None)