Theorem shftfib 10774

Description: Value of a fiber of the relation 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftfib	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))

Proof of Theorem shftfib

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	shftfval 10772	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
3	2	breqd 3998	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ 𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧))
4		vex 2733	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		eleq1 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
6		oveq1 5857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
7	6	breq1d 3997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦))
8	5, 7	anbi12d 470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦)))
9		breq2 3991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧))
10	9	anbi2d 461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
11		eqid 2170	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
12	8, 10, 11	brabg 4252	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
13	4, 12	mpan2 423	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
14	3, 13	sylan9bb 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
15		ibar 299	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
16	15	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧)))
17	14, 16	bitr4d 190	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧))
18	17	abbidv 2288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧} = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
19		imasng 4974	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
20	19	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧 ∣ 𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
21		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	21, 22	subcld 8217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
24		imasng 4974	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ → (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
25	23, 24	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵 − 𝐴)𝐹𝑧})
26	18, 20, 25	3eqtr4d 2213	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {cab 2156  Vcvv 2730  {csn 3581   class class class wbr 3987  {copab 4047   “ cima 4612  (class class class)co 5850  ℂcc 7759   − cmin 8077   shift cshi 10765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-sub 8079  df-shft 10766

This theorem is referenced by:  shftval  10776