Theorem cau3lem 11078

Description: Lemma for cau3 11079. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cau3lem.1	|- Z C_ ZZ
cau3lem.2	|- ( ta -> ps )
cau3lem.3	|- ( ( F ` k ) = ( F ` j ) -> ( ps <-> ch ) )
cau3lem.4	|- ( ( F ` k ) = ( F ` m ) -> ( ps <-> th ) )
cau3lem.5	|- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) = ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) )
cau3lem.6	|- ( ( ph /\ th /\ ch ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
cau3lem.7	|- ( ( ph /\ ( ps /\ th ) /\ ( ch /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )

Assertion

Ref	Expression
cau3lem	|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )

Distinct variable groups:   k, m, ch   x, k, D, m   k, F, m, x   j, k, m, x, ph   k, G, m, x   ps, m, x   ta, x   th, k   x, Z

Allowed substitution hints:   ps( j, k)   ch( x, j)   th( x, j, m)   ta( j, k, m)   D( j)   F( j)   G( j)   Z( j, k, m)

Proof of Theorem cau3lem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3993	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) )
2	1	anbi2d 461	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) ) )
3	2	rexralbidv 2496	. . . 4 |- ( x = z -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) ) )
4	3	cbvralv 2696	. . 3 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) )
5		rphalfcl 9638	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
6		breq2 3993	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
7	6	anbi2d 461	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) <-> ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
8	7	rexralbidv 2496	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
9	8	rspcv 2830	. . . . . . 7 |- ( ( x / 2 ) e. RR+ -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
11	10	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
12		cau3lem.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ta -> ps )
13	12	ralimi 2533	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
14		r19.26 2596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
15		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
16		cau3lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` k ) = ( F ` m ) -> ( ps <-> th ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = m -> ( ps <-> th ) )
18	15	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) = ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) )
19	18	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) )
20	19	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = m -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
21	17, 20	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
22	21	cbvralv 2696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
23	22	biimpi 119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
25	14, 24	syl5bir 152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
26	25	expdimp 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
27		cau3lem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z C_ ZZ
28	27	sseli 3143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
29		uzid 9501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
31		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
32		cau3lem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) = ( F ` j ) -> ( ps <-> ch ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ps <-> ch ) )
34	33	rspcva 2832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
35	30, 34	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
36	35	adantll 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
37	26, 36	jctild 314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) )
38		simplll 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ph )
39		simplrr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> th )
40		simplrl 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ch )
41		cau3lem.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ th /\ ch ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
43	42	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
44	43	anbi2d 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
45		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ps )
46		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> x e. RR+ )
47	46	rpred 9653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> x e. RR )
48		cau3lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( ps /\ th ) /\ ( ch /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
49	38, 45, 39, 40, 47, 48	syl122anc 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
50	44, 49	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
51	50	expd 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
52	51	impr 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
53	52	an32s 563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ch /\ th ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
54	53	anassrs 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) /\ th ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
55	54	expimpd 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) -> ( ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
56	55	ralimdv 2538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
57	56	impr 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x )
58	57	an32s 563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x )
59	58	expr 373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
60		uzss 9507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
61		ssralv 3211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
62	60, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
63	59, 62	sylan9 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ps ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
64	63	an32s 563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
65	64	expimpd 361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
66	65	ralimdva 2537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
67	66	ex 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
68	67	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
69	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
70	14, 69	syl5bir 152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
71	70	expdimp 257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
72	37, 71	mpdd 41	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
73	13, 72	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
74	73	imdistanda 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
75		r19.26 2596	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
76		r19.26 2596	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
77	74, 75, 76	3imtr4g 204	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
78	77	reximdva 2572	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
79	11, 78	syld 45	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
80	79	ralrimdva 2550	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
81	4, 80	syl5bi 151	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
82		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` j ) )
83	31	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) )
84	83	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
85	84	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
86	82, 85	raleqbidv 2677	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
87	86	rspcv 2830	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
88	87	ad2antlr 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
89		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
90	89	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) )
91	90	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) )
92	91	breq1d 3999	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x ) )
93	92	cbvralv 2696	. . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x )
94	34	anim2i 340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) -> ( ph /\ ch ) )
95	94	anassrs 398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( ph /\ ch ) )
96		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
97		cau3lem.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) = ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) )
98	97	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
99	98	3expia 1200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ch ) -> ( ps -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
100	99	ralimdv 2538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ch ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
101	95, 96, 100	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
102		ralbi 2602	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
103	101, 102	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
104	93, 103	syl5bb 191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
105	88, 104	sylibd 148	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
106	13, 105	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
107	106	imdistanda 446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
108	30, 107	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
109		r19.26 2596	. . . . 5 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
110	108, 76, 109	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
111	110	reximdva 2572	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
112	111	ralimdv 2538	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
113	81, 112	impbid 128	1 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   < clt 7954   / cdiv 8589   2c2 8929   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   RR+crp 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611

This theorem is referenced by:  cau3  11079