Theorem cau3lem 11296

Description: Lemma for cau3 11297. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cau3lem.1	|- Z C_ ZZ
cau3lem.2	|- ( ta -> ps )
cau3lem.3	|- ( ( F ` k ) = ( F ` j ) -> ( ps <-> ch ) )
cau3lem.4	|- ( ( F ` k ) = ( F ` m ) -> ( ps <-> th ) )
cau3lem.5	|- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) = ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) )
cau3lem.6	|- ( ( ph /\ th /\ ch ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
cau3lem.7	|- ( ( ph /\ ( ps /\ th ) /\ ( ch /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )

Assertion

Ref	Expression
cau3lem	|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )

Distinct variable groups:   k, m, ch   x, k, D, m   k, F, m, x   j, k, m, x, ph   k, G, m, x   ps, m, x   ta, x   th, k   x, Z

Allowed substitution hints:   ps( j, k)   ch( x, j)   th( x, j, m)   ta( j, k, m)   D( j)   F( j)   G( j)   Z( j, k, m)

Proof of Theorem cau3lem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4038	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) )
2	1	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) ) )
3	2	rexralbidv 2523	. . . 4 |- ( x = z -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) ) )
4	3	cbvralv 2729	. . 3 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) )
5		rphalfcl 9773	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
6		breq2 4038	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
7	6	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) <-> ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
8	7	rexralbidv 2523	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
9	8	rspcv 2864	. . . . . . 7 |- ( ( x / 2 ) e. RR+ -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
11	10	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
12		cau3lem.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ta -> ps )
13	12	ralimi 2560	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
14		r19.26 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
15		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
16		cau3lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` k ) = ( F ` m ) -> ( ps <-> th ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = m -> ( ps <-> th ) )
18	15	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) = ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) )
19	18	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) )
20	19	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = m -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
21	17, 20	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
22	21	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
23	22	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
25	14, 24	biimtrrid 153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
26	25	expdimp 259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
27		cau3lem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z C_ ZZ
28	27	sseli 3180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
29		uzid 9632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
31		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
32		cau3lem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) = ( F ` j ) -> ( ps <-> ch ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ps <-> ch ) )
34	33	rspcva 2866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
35	30, 34	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
36	35	adantll 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ch )
37	26, 36	jctild 316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) )
38		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ph )
39		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> th )
40		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ch )
41		cau3lem.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ th /\ ch ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
43	42	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
44	43	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
45		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ps )
46		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> x e. RR+ )
47	46	rpred 9788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> x e. RR )
48		cau3lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( ps /\ th ) /\ ( ch /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
49	38, 45, 39, 40, 47, 48	syl122anc 1258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
50	44, 49	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
51	50	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
52	51	impr 379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ th ) ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
53	52	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ch /\ th ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
54	53	anassrs 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) /\ th ) -> ( ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
55	54	expimpd 363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) -> ( ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
56	55	ralimdv 2565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ch ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
57	56	impr 379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x )
58	57	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x )
59	58	expr 375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
60		uzss 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
61		ssralv 3248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
62	60, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
63	59, 62	sylan9 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ ps ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
64	63	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
65	64	expimpd 363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
66	65	ralimdva 2564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
67	66	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
68	67	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ps /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
70	14, 69	biimtrrid 153	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
71	70	expdimp 259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( ch /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( th /\ ( G ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
72	37, 71	mpdd 41	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
73	13, 72	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
74	73	imdistanda 448	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
75		r19.26 2623	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
76		r19.26 2623	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
77	74, 75, 76	3imtr4g 205	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
78	77	reximdva 2599	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
79	11, 78	syld 45	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
80	79	ralrimdva 2577	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < z ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
81	4, 80	biimtrid 152	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
82		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` j ) )
83	31	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) )
84	83	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
85	84	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
86	82, 85	raleqbidv 2709	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
87	86	rspcv 2864	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
88	87	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
89		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
90	89	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) )
91	90	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) = ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) )
92	91	breq1d 4044	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x ) )
93	92	cbvralv 2729	. . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x )
94	34	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) -> ( ph /\ ch ) )
95	94	anassrs 400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( ph /\ ch ) )
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps )
97		cau3lem.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) = ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) )
98	97	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ch /\ ps ) -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
99	98	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ch ) -> ( ps -> ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
100	99	ralimdv 2565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ch ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
101	95, 96, 100	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
102		ralbi 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
103	101, 102	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
104	93, 103	bitrid 192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
105	88, 104	sylibd 149	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
106	13, 105	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
107	106	imdistanda 448	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
108	30, 107	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
109		r19.26 2623	. . . . 5 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ta /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) )
110	108, 76, 109	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
111	110	reximdva 2599	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
112	111	ralimdv 2565	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) ) )
113	81, 112	impbid 129	1 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ta /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( G ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   < clt 8078   / cdiv 8716   2c2 9058   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   RR+crp 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-2 9066  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  cau3  11297