Theorem subcmnd 13463

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subcmnd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
subcmnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
subcmnd.m	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
subcmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
subcmnd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2		subcmnd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqidd 2197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		subcmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		subcmnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6	2, 3, 4, 5	ressplusgd 12806	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
7		subcmnd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
8	5	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝐺 ∈ CMnd)
9		eqidd 2197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
10	2, 9, 5, 4	ressbasssd 12747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺))
11	10	sselda 3183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	3adant3 1019	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13	10	sselda 3183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
14	13	3adant2 1018	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
15		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	15, 16	cmncom 13432	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
19	1, 6, 7, 18	iscmnd 13428	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678   ↾_s cress 12679  +_gcplusg 12755  Mndcmnd 13057  CMndccmn 13414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-cmn 13416

This theorem is referenced by:  unitabl  13673  subrgcrng  13781