Theorem subcmnd 13719

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subcmnd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
subcmnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
subcmnd.m	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
subcmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
subcmnd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2207	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2		subcmnd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqidd 2207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		subcmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		subcmnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6	2, 3, 4, 5	ressplusgd 13011	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
7		subcmnd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
8	5	3ad2ant1 1021	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝐺 ∈ CMnd)
9		eqidd 2207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
10	2, 9, 5, 4	ressbasssd 12951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺))
11	10	sselda 3195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	3adant3 1020	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13	10	sselda 3195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
14	13	3adant2 1019	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
15		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	15, 16	cmncom 13688	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1250	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
19	1, 6, 7, 18	iscmnd 13684	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  Basecbs 12882   ↾_s cress 12883  +_gcplusg 12959  Mndcmnd 13298  CMndccmn 13670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-inn 9050  df-2 9108  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-iress 12890  df-plusg 12972  df-cmn 13672

This theorem is referenced by:  unitabl  13929  subrgcrng  14037