Theorem subcmnd 13134

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subcmnd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
subcmnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
subcmnd.m	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
subcmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
subcmnd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2178	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2		subcmnd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqidd 2178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		subcmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		subcmnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6	2, 3, 4, 5	ressplusgd 12589	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
7		subcmnd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
8	5	3ad2ant1 1018	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝐺 ∈ CMnd)
9		eqidd 2178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
10	2, 9, 5, 4	ressbasssd 12531	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺))
11	10	sselda 3157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	3adant3 1017	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13	10	sselda 3157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
14	13	3adant2 1016	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
15		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	15, 16	cmncom 13110	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1238	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
19	1, 6, 7, 18	iscmnd 13106	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464   ↾_s cress 12465  +_gcplusg 12538  Mndcmnd 12822  CMndccmn 13093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-cmn 13095

This theorem is referenced by:  unitabl  13291  subrgcrng  13351