Theorem subcmnd 13856

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subcmnd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
subcmnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
subcmnd.m	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
subcmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
subcmnd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2230	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2		subcmnd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqidd 2230	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		subcmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		subcmnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6	2, 3, 4, 5	ressplusgd 13148	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
7		subcmnd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
8	5	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝐺 ∈ CMnd)
9		eqidd 2230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
10	2, 9, 5, 4	ressbasssd 13088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺))
11	10	sselda 3224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	3adant3 1041	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13	10	sselda 3224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
14	13	3adant2 1040	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
15		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	15, 16	cmncom 13825	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
19	1, 6, 7, 18	iscmnd 13821	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  Basecbs 13018   ↾_s cress 13019  +_gcplusg 13096  Mndcmnd 13435  CMndccmn 13807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-inn 9099  df-2 9157  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-iress 13026  df-plusg 13109  df-cmn 13809

This theorem is referenced by:  unitabl  14066  subrgcrng  14174