Theorem subcmnd 14042

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subcmnd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
subcmnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
subcmnd.m	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
subcmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
subcmnd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2233	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2		subcmnd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqidd 2233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		subcmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		subcmnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6	2, 3, 4, 5	ressplusgd 13334	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
7		subcmnd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
8	5	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝐺 ∈ CMnd)
9		eqidd 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
10	2, 9, 5, 4	ressbasssd 13274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺))
11	10	sselda 3237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13	10	sselda 3237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
14	13	3adant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
15		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	15, 16	cmncom 14011	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
19	1, 6, 7, 18	iscmnd 14007	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13204   ↾_s cress 13205  +_gcplusg 13282  Mndcmnd 13621  CMndccmn 13993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-cmn 13995

This theorem is referenced by:  unitabl  14254  subrgcrng  14362