Theorem subf 8344

Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subf	|- - : ( CC X. CC ) --> CC

Proof of Theorem subf

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8334	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) = ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) )
2		subcl 8341	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) e. CC )
3	1, 2	eqeltrrd 2307	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) e. CC )
4	3	rgen2a 2584	. 2 |- A. x e. CC A. y e. CC ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) e. CC
5		df-sub 8315	. . 3 |- - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) )
6	5	fmpo 6345	. 2 |- ( A. x e. CC A. y e. CC ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) e. CC <-> - : ( CC X. CC ) --> CC )
7	4, 6	mpbi 145	1 |- - : ( CC X. CC ) --> CC

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   X. cxp 4716   -->wf 5313   iota_crio 5952  (class class class)co 6000   CCcc 7993   + caddc 7998   - cmin 8313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-sub 8315

This theorem is referenced by:  dfz2  9515  cnfldsub  14533  cnmetdval  15197  cnmet  15198  cnfldms  15204  subcncntop  15231