ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subf Unicode version

Theorem subf 7964
Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
subf  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC

Proof of Theorem subf
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 7954 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  =  ( iota_ z  e.  CC  ( y  +  z )  =  x ) )
2 subcl 7961 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  e.  CC )
31, 2eqeltrrd 2217 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( iota_ z  e.  CC  ( y  +  z )  =  x )  e.  CC )
43rgen2a 2486 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( iota_ z  e.  CC  ( y  +  z )  =  x )  e.  CC
5 df-sub 7935 . . 3  |-  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( iota_ z  e.  CC  ( y  +  z )  =  x ) )
65fmpo 6099 . 2  |-  ( A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( iota_ z  e.  CC  ( y  +  z )  =  x )  e.  CC  <->  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )
74, 6mpbi 144 1  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416    X. cxp 4537   -->wf 5119   iota_crio 5729  (class class class)co 5774   CCcc 7618    + caddc 7623    - cmin 7933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-sub 7935
This theorem is referenced by:  dfz2  9123  cnmetdval  12698  cnmet  12699  subcncntop  12722
  Copyright terms: Public domain W3C validator