Theorem subf 8309

Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subf	|- - : ( CC X. CC ) --> CC

Proof of Theorem subf

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8299	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) = ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) )
2		subcl 8306	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) e. CC )
3	1, 2	eqeltrrd 2285	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) e. CC )
4	3	rgen2a 2562	. 2 |- A. x e. CC A. y e. CC ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) e. CC
5		df-sub 8280	. . 3 |- - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) )
6	5	fmpo 6310	. 2 |- ( A. x e. CC A. y e. CC ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) e. CC <-> - : ( CC X. CC ) --> CC )
7	4, 6	mpbi 145	1 |- - : ( CC X. CC ) --> CC

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   X. cxp 4691   -->wf 5286   iota_crio 5921  (class class class)co 5967   CCcc 7958   + caddc 7963   - cmin 8278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-sub 8280

This theorem is referenced by:  dfz2  9480  cnfldsub  14452  cnmetdval  15116  cnmet  15117  cnfldms  15123  subcncntop  15150