ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subf Unicode version

Theorem subf 7684
Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
subf  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC

Proof of Theorem subf
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 7674 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  =  ( iota_ z  e.  CC  ( y  +  z )  =  x ) )
2 subcl 7681 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  e.  CC )
31, 2eqeltrrd 2165 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( iota_ z  e.  CC  ( y  +  z )  =  x )  e.  CC )
43rgen2a 2429 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( iota_ z  e.  CC  ( y  +  z )  =  x )  e.  CC
5 df-sub 7655 . . 3  |-  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( iota_ z  e.  CC  ( y  +  z )  =  x ) )
65fmpt2 5971 . 2  |-  ( A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( iota_ z  e.  CC  ( y  +  z )  =  x )  e.  CC  <->  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )
74, 6mpbi 143 1  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    X. cxp 4436   -->wf 5011   iota_crio 5607  (class class class)co 5652   CCcc 7348    + caddc 7353    - cmin 7653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-sub 7655
This theorem is referenced by:  dfz2  8819
  Copyright terms: Public domain W3C validator