Theorem subf 8121

Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subf	|- - : ( CC X. CC ) --> CC

Proof of Theorem subf

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8111	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) = ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) )
2		subcl 8118	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) e. CC )
3	1, 2	eqeltrrd 2248	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) e. CC )
4	3	rgen2a 2524	. 2 |- A. x e. CC A. y e. CC ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) e. CC
5		df-sub 8092	. . 3 |- - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) )
6	5	fmpo 6180	. 2 |- ( A. x e. CC A. y e. CC ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) e. CC <-> - : ( CC X. CC ) --> CC )
7	4, 6	mpbi 144	1 |- - : ( CC X. CC ) --> CC

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   X. cxp 4609   -->wf 5194   iota_crio 5808  (class class class)co 5853   CCcc 7772   + caddc 7777   - cmin 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-sub 8092

This theorem is referenced by:  dfz2  9284  cnmetdval  13323  cnmet  13324  subcncntop  13347