ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subf GIF version

Theorem subf 8136
Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
subf − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Proof of Theorem subf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 8126 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2 subcl 8133 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
31, 2eqeltrrd 2255 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ)
43rgen2a 2531 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ
5 df-sub 8107 . . 3 − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
65fmpo 6195 . 2 (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ ↔ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
74, 6mpbi 145 1 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455   × cxp 4620  wf 5207  crio 5823  (class class class)co 5868  cc 7787   + caddc 7792  cmin 8105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-sub 8107
This theorem is referenced by:  dfz2  9301  cnmetdval  13662  cnmet  13663  subcncntop  13686
  Copyright terms: Public domain W3C validator