Theorem subf 8221

Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subf	⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Proof of Theorem subf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8211	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2		subcl 8218	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
3	1, 2	eqeltrrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	rgen2a 2548	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ
5		df-sub 8192	. . 3 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	5	fmpo 6254	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ ↔ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
7	4, 6	mpbi 145	1 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   × cxp 4657  ⟶wf 5250  ℩crio 5872  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   + caddc 7875   − cmin 8190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-sub 8192

This theorem is referenced by:  dfz2  9389  cnfldsub  14063  cnmetdval  14697  cnmet  14698  subcncntop  14721