Theorem dfz2 9254

Description: Alternate definition of the integers, based on elz2 9253. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dfz2	|- ZZ = ( - " ( NN X. NN ) )

Proof of Theorem dfz2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz2 9253	. . 3 |- ( x e. ZZ <-> E. y e. NN E. z e. NN x = ( y - z ) )
2		subf 8091	. . . . 5 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
3		ffn 5331	. . . . 5 |- ( - : ( CC X. CC ) --> CC -> - Fn ( CC X. CC ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- - Fn ( CC X. CC )
5		nnsscn 8853	. . . . 5 |- NN C_ CC
6		xpss12 4705	. . . . 5 |- ( ( NN C_ CC /\ NN C_ CC ) -> ( NN X. NN ) C_ ( CC X. CC ) )
7	5, 5, 6	mp2an 423	. . . 4 |- ( NN X. NN ) C_ ( CC X. CC )
8		ovelimab 5983	. . . 4 |- ( ( - Fn ( CC X. CC ) /\ ( NN X. NN ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( x e. ( - " ( NN X. NN ) ) <-> E. y e. NN E. z e. NN x = ( y - z ) ) )
9	4, 7, 8	mp2an 423	. . 3 |- ( x e. ( - " ( NN X. NN ) ) <-> E. y e. NN E. z e. NN x = ( y - z ) )
10	1, 9	bitr4i 186	. 2 |- ( x e. ZZ <-> x e. ( - " ( NN X. NN ) ) )
11	10	eqriv 2161	1 |- ZZ = ( - " ( NN X. NN ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1342   e. wcel 2135   E.wrex 2443   C_ wss 3111   X. cxp 4596   "cima 4601   Fn wfn 5177   -->wf 5178  (class class class)co 5836   CCcc 7742   - cmin 8060   NNcn 8848   ZZcz 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183

This theorem is referenced by: (None)