ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfz2 Unicode version

Theorem dfz2 9146
Description: Alternate definition of the integers, based on elz2 9145. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfz2  |-  ZZ  =  (  -  " ( NN  X.  NN ) )

Proof of Theorem dfz2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 9145 . . 3  |-  ( x  e.  ZZ  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  x  =  ( y  -  z ) )
2 subf 7987 . . . . 5  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
3 ffn 5279 . . . . 5  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  -  Fn  ( CC  X.  CC ) )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-  -  Fn  ( CC  X.  CC )
5 nnsscn 8748 . . . . 5  |-  NN  C_  CC
6 xpss12 4653 . . . . 5  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  NN  C_  CC )  ->  ( NN  X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC ) )
75, 5, 6mp2an 423 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC )
8 ovelimab 5928 . . . 4  |-  ( (  -  Fn  ( CC 
X.  CC )  /\  ( NN  X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
x  e.  (  -  " ( NN  X.  NN ) )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  x  =  ( y  -  z ) ) )
94, 7, 8mp2an 423 . . 3  |-  ( x  e.  (  -  "
( NN  X.  NN ) )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  x  =  ( y  -  z ) )
101, 9bitr4i 186 . 2  |-  ( x  e.  ZZ  <->  x  e.  (  -  " ( NN  X.  NN ) ) )
1110eqriv 2137 1  |-  ZZ  =  (  -  " ( NN  X.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   E.wrex 2418    C_ wss 3075    X. cxp 4544   "cima 4549    Fn wfn 5125   -->wf 5126  (class class class)co 5781   CCcc 7641    - cmin 7956   NNcn 8743   ZZcz 9077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator