Theorem dfz2 9263

Description: Alternate definition of the integers, based on elz2 9262. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dfz2	|- ZZ = ( - " ( NN X. NN ) )

Proof of Theorem dfz2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz2 9262	. . 3 |- ( x e. ZZ <-> E. y e. NN E. z e. NN x = ( y - z ) )
2		subf 8100	. . . . 5 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
3		ffn 5337	. . . . 5 |- ( - : ( CC X. CC ) --> CC -> - Fn ( CC X. CC ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- - Fn ( CC X. CC )
5		nnsscn 8862	. . . . 5 |- NN C_ CC
6		xpss12 4711	. . . . 5 |- ( ( NN C_ CC /\ NN C_ CC ) -> ( NN X. NN ) C_ ( CC X. CC ) )
7	5, 5, 6	mp2an 423	. . . 4 |- ( NN X. NN ) C_ ( CC X. CC )
8		ovelimab 5992	. . . 4 |- ( ( - Fn ( CC X. CC ) /\ ( NN X. NN ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( x e. ( - " ( NN X. NN ) ) <-> E. y e. NN E. z e. NN x = ( y - z ) ) )
9	4, 7, 8	mp2an 423	. . 3 |- ( x e. ( - " ( NN X. NN ) ) <-> E. y e. NN E. z e. NN x = ( y - z ) )
10	1, 9	bitr4i 186	. 2 |- ( x e. ZZ <-> x e. ( - " ( NN X. NN ) ) )
11	10	eqriv 2162	1 |- ZZ = ( - " ( NN X. NN ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   C_ wss 3116   X. cxp 4602   "cima 4607   Fn wfn 5183   -->wf 5184  (class class class)co 5842   CCcc 7751   - cmin 8069   NNcn 8857   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by: (None)