Theorem cnmetdval 14432

Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmetdval.1	|- D = ( abs o. - )

Assertion

Ref	Expression
cnmetdval	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A D B ) = ( abs ` ( A - B ) ) )

Proof of Theorem cnmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subf 8178	. . 3 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
2		opelxpi 4673	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> <. A , B >. e. ( CC X. CC ) )
3		fvco3 5603	. . 3 |- ( ( - : ( CC X. CC ) --> CC /\ <. A , B >. e. ( CC X. CC ) ) -> ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) ) )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) ) )
5		df-ov 5894	. . 3 |- ( A D B ) = ( D ` <. A , B >. )
6		cnmetdval.1	. . . 4 |- D = ( abs o. - )
7	6	fveq1i 5531	. . 3 |- ( D ` <. A , B >. ) = ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. )
8	5, 7	eqtri 2210	. 2 |- ( A D B ) = ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. )
9		df-ov 5894	. . 3 |- ( A - B ) = ( - ` <. A , B >. )
10	9	fveq2i 5533	. 2 |- ( abs ` ( A - B ) ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) )
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2247	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A D B ) = ( abs ` ( A - B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3610   X. cxp 4639   o. ccom 4645   -->wf 5227   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   CCcc 7828   - cmin 8147   abscabs 11025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-sub 8149

This theorem is referenced by:  cnmet  14433  cnbl0  14437  cnblcld  14438  remetdval  14442  addcncntoplem  14454  divcnap  14458  cncfmet  14482  cnopnap  14497  limcimolemlt  14536  cnplimcim  14539  cnplimclemr  14541  limccnpcntop  14547  limccnp2lem  14548