ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnmetdval Unicode version

Theorem cnmetdval 12518
Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmetdval.1  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
Assertion
Ref Expression
cnmetdval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )

Proof of Theorem cnmetdval
StepHypRef Expression
1 subf 7887 . . 3  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
2 opelxpi 4531 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
3 fvco3 5446 . . 3  |-  ( (  -  : ( CC 
X.  CC ) --> CC 
/\  <. A ,  B >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( abs `  (  -  `  <. A ,  B >. )
) )
41, 2, 3sylancr 408 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( abs `  (  -  `  <. A ,  B >. ) ) )
5 df-ov 5731 . . 3  |-  ( A D B )  =  ( D `  <. A ,  B >. )
6 cnmetdval.1 . . . 4  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
76fveq1i 5376 . . 3  |-  ( D `
 <. A ,  B >. )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )
85, 7eqtri 2135 . 2  |-  ( A D B )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )
9 df-ov 5731 . . 3  |-  ( A  -  B )  =  (  -  `  <. A ,  B >. )
109fveq2i 5378 . 2  |-  ( abs `  ( A  -  B
) )  =  ( abs `  (  -  ` 
<. A ,  B >. ) )
114, 8, 103eqtr4g 2172 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   <.cop 3496    X. cxp 4497    o. ccom 4503   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   CCcc 7545    - cmin 7856   abscabs 10661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-sub 7858
This theorem is referenced by:  cnmet  12519  cnbl0  12523  cnblcld  12524  remetdval  12525  addcncntoplem  12537  divcnap  12541  cncfmet  12565  limcimolemlt  12589  cnplimcim  12592  cnplimclemr  12594  limccnpcntop  12600  limccnp2lem  12601
  Copyright terms: Public domain W3C validator