Theorem cnmetdval 15034

Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmetdval.1	|- D = ( abs o. - )

Assertion

Ref	Expression
cnmetdval	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A D B ) = ( abs ` ( A - B ) ) )

Proof of Theorem cnmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subf 8276	. . 3 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
2		opelxpi 4708	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> <. A , B >. e. ( CC X. CC ) )
3		fvco3 5652	. . 3 |- ( ( - : ( CC X. CC ) --> CC /\ <. A , B >. e. ( CC X. CC ) ) -> ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) ) )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) ) )
5		df-ov 5949	. . 3 |- ( A D B ) = ( D ` <. A , B >. )
6		cnmetdval.1	. . . 4 |- D = ( abs o. - )
7	6	fveq1i 5579	. . 3 |- ( D ` <. A , B >. ) = ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. )
8	5, 7	eqtri 2226	. 2 |- ( A D B ) = ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. )
9		df-ov 5949	. . 3 |- ( A - B ) = ( - ` <. A , B >. )
10	9	fveq2i 5581	. 2 |- ( abs ` ( A - B ) ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) )
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2263	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A D B ) = ( abs ` ( A - B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   X. cxp 4674   o. ccom 4680   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   - cmin 8245   abscabs 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-sub 8247

This theorem is referenced by:  cnmet  15035  cnbl0  15039  cnblcld  15040  remetdval  15052  addcncntoplem  15066  divcnap  15070  cncfmet  15097  cnopnap  15116  limcimolemlt  15169  cnplimcim  15172  cnplimclemr  15174  limccnpcntop  15180  limccnp2lem  15181