Theorem cnmetdval 13323

Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmetdval.1	|- D = ( abs o. - )

Assertion

Ref	Expression
cnmetdval	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A D B ) = ( abs ` ( A - B ) ) )

Proof of Theorem cnmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subf 8121	. . 3 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
2		opelxpi 4643	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> <. A , B >. e. ( CC X. CC ) )
3		fvco3 5567	. . 3 |- ( ( - : ( CC X. CC ) --> CC /\ <. A , B >. e. ( CC X. CC ) ) -> ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) ) )
4	1, 2, 3	sylancr 412	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) ) )
5		df-ov 5856	. . 3 |- ( A D B ) = ( D ` <. A , B >. )
6		cnmetdval.1	. . . 4 |- D = ( abs o. - )
7	6	fveq1i 5497	. . 3 |- ( D ` <. A , B >. ) = ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. )
8	5, 7	eqtri 2191	. 2 |- ( A D B ) = ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. )
9		df-ov 5856	. . 3 |- ( A - B ) = ( - ` <. A , B >. )
10	9	fveq2i 5499	. 2 |- ( abs ` ( A - B ) ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) )
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2228	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A D B ) = ( abs ` ( A - B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   X. cxp 4609   o. ccom 4615   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   - cmin 8090   abscabs 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-sub 8092

This theorem is referenced by:  cnmet  13324  cnbl0  13328  cnblcld  13329  remetdval  13333  addcncntoplem  13345  divcnap  13349  cncfmet  13373  cnopnap  13388  limcimolemlt  13427  cnplimcim  13430  cnplimclemr  13432  limccnpcntop  13438  limccnp2lem  13439