Theorem cnmetdval 12518

Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmetdval.1	|- D = ( abs o. - )

Assertion

Ref	Expression
cnmetdval	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A D B ) = ( abs ` ( A - B ) ) )

Proof of Theorem cnmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subf 7887	. . 3 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
2		opelxpi 4531	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> <. A , B >. e. ( CC X. CC ) )
3		fvco3 5446	. . 3 |- ( ( - : ( CC X. CC ) --> CC /\ <. A , B >. e. ( CC X. CC ) ) -> ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) ) )
4	1, 2, 3	sylancr 408	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) ) )
5		df-ov 5731	. . 3 |- ( A D B ) = ( D ` <. A , B >. )
6		cnmetdval.1	. . . 4 |- D = ( abs o. - )
7	6	fveq1i 5376	. . 3 |- ( D ` <. A , B >. ) = ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. )
8	5, 7	eqtri 2135	. 2 |- ( A D B ) = ( ( abs o. - ) ` <. A , B >. )
9		df-ov 5731	. . 3 |- ( A - B ) = ( - ` <. A , B >. )
10	9	fveq2i 5378	. 2 |- ( abs ` ( A - B ) ) = ( abs ` ( - ` <. A , B >. ) )
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2172	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A D B ) = ( abs ` ( A - B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1314   e. wcel 1463   <.cop 3496   X. cxp 4497   o. ccom 4503   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   CCcc 7545   - cmin 7856   abscabs 10661

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-sub 7858

This theorem is referenced by:  cnmet  12519  cnbl0  12523  cnblcld  12524  remetdval  12525  addcncntoplem  12537  divcnap  12541  cncfmet  12565  limcimolemlt  12589  cnplimcim  12592  cnplimclemr  12594  limccnpcntop  12600  limccnp2lem  12601