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Theorem difelfzle 9904
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 9887 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
2 elfznn0 9887 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
3 nn0z 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
4 nn0z 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
5 zsubcl 9088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  -  K
)  e.  ZZ )
63, 4, 5syl2anr 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  e.  ZZ )
76adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  ( M  -  K )  e.  ZZ )
8 nn0re 8979 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
9 nn0re 8979 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
10 subge0 8230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( M  -  K )  <->  K  <_  M ) )
118, 9, 10syl2anr 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M  -  K )  <->  K  <_  M ) )
1211biimpar 295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  0  <_  ( M  -  K )
)
137, 12jca 304 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( M  -  K
) ) )
1413exp31 361 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  M  ->  (
( M  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) ) ) )
151, 2, 14syl2im 38 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  <_  M  ->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) ) ) )
16153imp 1175 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) )
17 elnn0z 9060 . . 3  |-  ( ( M  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( M  -  K
) ) )
1816, 17sylibr 133 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  NN0 )
19 elfz3nn0 9888 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
20193ad2ant1 1002 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  ->  N  e.  NN0 )
21 elfz2nn0 9885 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
2283ad2ant1 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  RR )
23 resubcl 8019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  -  K
)  e.  RR )
2422, 9, 23syl2an 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  e.  RR )
2522adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
26 nn0re 8979 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
27263ad2ant2 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  RR )
2827adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
29 nn0ge0 8995 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  <_  K )
3029adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  <_  K )
31 subge02 8233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  K  <->  ( M  -  K )  <_  M ) )
3222, 9, 31syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  K  <->  ( M  -  K )  <_  M ) )
3330, 32mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  <_  M )
34 simpl3 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  M  <_  N )
3524, 25, 28, 33, 34letrd 7879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
3635ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( M  -  K )  <_  N ) )
3721, 36sylbi 120 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( M  -  K )  <_  N ) )
381, 37syl5com 29 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
)
3938a1dd 48 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  <_  M  ->  ( M  -  K
)  <_  N )
) )
40393imp 1175 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
41 elfz2nn0 9885 . 2  |-  ( ( M  -  K )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( M  -  K )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( M  -  K )  <_  N
) )
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1165 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   0cc0 7613    <_ cle 7794    - cmin 7926   NN0cn0 8970   ZZcz 9047   ...cfz 9783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784
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