Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  difelfzle Unicode version

Theorem difelfzle 9606
 Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 9589 . . . . 5
2 elfznn0 9589 . . . . 5
3 nn0z 8831 . . . . . . . . 9
4 nn0z 8831 . . . . . . . . 9
5 zsubcl 8852 . . . . . . . . 9
63, 4, 5syl2anr 285 . . . . . . . 8
76adantr 271 . . . . . . 7
8 nn0re 8743 . . . . . . . . 9
9 nn0re 8743 . . . . . . . . 9
10 subge0 8014 . . . . . . . . 9
118, 9, 10syl2anr 285 . . . . . . . 8
1211biimpar 292 . . . . . . 7
137, 12jca 301 . . . . . 6
1413exp31 357 . . . . 5
151, 2, 14syl2im 38 . . . 4
16153imp 1138 . . 3
17 elnn0z 8824 . . 3
1816, 17sylibr 133 . 2
19 elfz3nn0 9590 . . 3
20193ad2ant1 965 . 2
21 elfz2nn0 9587 . . . . . 6
2283ad2ant1 965 . . . . . . . . 9
23 resubcl 7807 . . . . . . . . 9
2422, 9, 23syl2an 284 . . . . . . . 8
2522adantr 271 . . . . . . . 8
26 nn0re 8743 . . . . . . . . . 10
27263ad2ant2 966 . . . . . . . . 9
2827adantr 271 . . . . . . . 8
29 nn0ge0 8759 . . . . . . . . . 10
3029adantl 272 . . . . . . . . 9
31 subge02 8017 . . . . . . . . . 10
3222, 9, 31syl2an 284 . . . . . . . . 9
3330, 32mpbid 146 . . . . . . . 8
34 simpl3 949 . . . . . . . 8
3524, 25, 28, 33, 34letrd 7668 . . . . . . 7
3635ex 114 . . . . . 6
3721, 36sylbi 120 . . . . 5
381, 37syl5com 29 . . . 4
3938a1dd 48 . . 3
40393imp 1138 . 2
41 elfz2nn0 9587 . 2
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1128 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 925   wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  cr 7410  cc0 7411   cle 7584   cmin 7714  cn0 8734  cz 8811  cfz 9485 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator