Theorem difelfzle 10330

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfzle	|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10310	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
2		elfznn0 10310	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. NN0 )
3		nn0z 9466	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
4		nn0z 9466	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
5		zsubcl 9487	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M - K ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( M - K ) e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ZZ )
8		nn0re 9378	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
9		nn0re 9378	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
10		subge0 8622	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ ( M - K ) <-> K <_ M ) )
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( M - K ) <-> K <_ M ) )
12	11	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> 0 <_ ( M - K ) )
13	7, 12	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
14	13	exp31 364	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K <_ M -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) ) ) )
15	1, 2, 14	syl2im 38	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ M -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) ) ) )
16	15	3imp 1217	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
17		elnn0z 9459	. . 3 |- ( ( M - K ) e. NN0 <-> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
18	16, 17	sylibr 134	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. NN0 )
19		elfz3nn0 10311	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
20	19	3ad2ant1 1042	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> N e. NN0 )
21		elfz2nn0 10308	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
22	8	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> M e. RR )
23		resubcl 8410	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M - K ) e. RR )
24	22, 9, 23	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) e. RR )
25	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> M e. RR )
26		nn0re 9378	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
27	26	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> N e. RR )
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> N e. RR )
29		nn0ge0 9394	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> 0 <_ K )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> 0 <_ K )
31		subge02 8625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> ( M - K ) <_ M ) )
32	22, 9, 31	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( 0 <_ K <-> ( M - K ) <_ M ) )
33	30, 32	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) <_ M )
34		simpl3 1026	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> M <_ N )
35	24, 25, 28, 33, 34	letrd 8270	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) <_ N )
36	35	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( K e. NN0 -> ( M - K ) <_ N ) )
37	21, 36	sylbi 121	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K e. NN0 -> ( M - K ) <_ N ) )
38	1, 37	syl5com 29	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M - K ) <_ N ) )
39	38	a1dd 48	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ M -> ( M - K ) <_ N ) ) )
40	39	3imp 1217	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) <_ N )
41		elfz2nn0 10308	. 2 |- ( ( M - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( M - K ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( M - K ) <_ N ) )
42	18, 20, 40, 41	syl3anbrc 1205	1 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   <_ cle 8182   - cmin 8317   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205

This theorem is referenced by: (None)