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Theorem difelfzle 9606
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 9589 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
2 elfznn0 9589 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
3 nn0z 8831 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
4 nn0z 8831 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
5 zsubcl 8852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  -  K
)  e.  ZZ )
63, 4, 5syl2anr 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  e.  ZZ )
76adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  ( M  -  K )  e.  ZZ )
8 nn0re 8743 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
9 nn0re 8743 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
10 subge0 8014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( M  -  K )  <->  K  <_  M ) )
118, 9, 10syl2anr 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M  -  K )  <->  K  <_  M ) )
1211biimpar 292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  0  <_  ( M  -  K )
)
137, 12jca 301 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( M  -  K
) ) )
1413exp31 357 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  M  ->  (
( M  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) ) ) )
151, 2, 14syl2im 38 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  <_  M  ->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) ) ) )
16153imp 1138 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) )
17 elnn0z 8824 . . 3  |-  ( ( M  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( M  -  K
) ) )
1816, 17sylibr 133 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  NN0 )
19 elfz3nn0 9590 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
20193ad2ant1 965 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  ->  N  e.  NN0 )
21 elfz2nn0 9587 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
2283ad2ant1 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  RR )
23 resubcl 7807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  -  K
)  e.  RR )
2422, 9, 23syl2an 284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  e.  RR )
2522adantr 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
26 nn0re 8743 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
27263ad2ant2 966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  RR )
2827adantr 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
29 nn0ge0 8759 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  <_  K )
3029adantl 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  <_  K )
31 subge02 8017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  K  <->  ( M  -  K )  <_  M ) )
3222, 9, 31syl2an 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  K  <->  ( M  -  K )  <_  M ) )
3330, 32mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  <_  M )
34 simpl3 949 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  M  <_  N )
3524, 25, 28, 33, 34letrd 7668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
3635ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( M  -  K )  <_  N ) )
3721, 36sylbi 120 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( M  -  K )  <_  N ) )
381, 37syl5com 29 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
)
3938a1dd 48 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  <_  M  ->  ( M  -  K
)  <_  N )
) )
40393imp 1138 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
41 elfz2nn0 9587 . 2  |-  ( ( M  -  K )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( M  -  K )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( M  -  K )  <_  N
) )
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1128 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 925    e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7410   0cc0 7411    <_ cle 7584    - cmin 7714   NN0cn0 8734   ZZcz 8811   ...cfz 9485
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486
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