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Theorem difelfzle 10148
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 10128 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
2 elfznn0 10128 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
3 nn0z 9287 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
4 nn0z 9287 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
5 zsubcl 9308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  -  K
)  e.  ZZ )
63, 4, 5syl2anr 290 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  e.  ZZ )
76adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  ( M  -  K )  e.  ZZ )
8 nn0re 9199 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
9 nn0re 9199 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
10 subge0 8446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( M  -  K )  <->  K  <_  M ) )
118, 9, 10syl2anr 290 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M  -  K )  <->  K  <_  M ) )
1211biimpar 297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  0  <_  ( M  -  K )
)
137, 12jca 306 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( M  -  K
) ) )
1413exp31 364 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  M  ->  (
( M  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) ) ) )
151, 2, 14syl2im 38 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  <_  M  ->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) ) ) )
16153imp 1194 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) )
17 elnn0z 9280 . . 3  |-  ( ( M  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( M  -  K
) ) )
1816, 17sylibr 134 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  NN0 )
19 elfz3nn0 10129 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
20193ad2ant1 1019 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  ->  N  e.  NN0 )
21 elfz2nn0 10126 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
2283ad2ant1 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  RR )
23 resubcl 8235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  -  K
)  e.  RR )
2422, 9, 23syl2an 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  e.  RR )
2522adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
26 nn0re 9199 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
27263ad2ant2 1020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  RR )
2827adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
29 nn0ge0 9215 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  <_  K )
3029adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  <_  K )
31 subge02 8449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  K  <->  ( M  -  K )  <_  M ) )
3222, 9, 31syl2an 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  K  <->  ( M  -  K )  <_  M ) )
3330, 32mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  <_  M )
34 simpl3 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  M  <_  N )
3524, 25, 28, 33, 34letrd 8095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
3635ex 115 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( M  -  K )  <_  N ) )
3721, 36sylbi 121 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( M  -  K )  <_  N ) )
381, 37syl5com 29 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
)
3938a1dd 48 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  <_  M  ->  ( M  -  K
)  <_  N )
) )
40393imp 1194 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
41 elfz2nn0 10126 . 2  |-  ( ( M  -  K )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( M  -  K )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( M  -  K )  <_  N
) )
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1182 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 979    e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   RRcr 7824   0cc0 7825    <_ cle 8007    - cmin 8142   NN0cn0 9190   ZZcz 9267   ...cfz 10022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023
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