Theorem difelfzle 10148

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfzle	|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10128	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
2		elfznn0 10128	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. NN0 )
3		nn0z 9287	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
4		nn0z 9287	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
5		zsubcl 9308	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M - K ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( M - K ) e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ZZ )
8		nn0re 9199	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
9		nn0re 9199	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
10		subge0 8446	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ ( M - K ) <-> K <_ M ) )
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( M - K ) <-> K <_ M ) )
12	11	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> 0 <_ ( M - K ) )
13	7, 12	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
14	13	exp31 364	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K <_ M -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) ) ) )
15	1, 2, 14	syl2im 38	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ M -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) ) ) )
16	15	3imp 1194	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
17		elnn0z 9280	. . 3 |- ( ( M - K ) e. NN0 <-> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
18	16, 17	sylibr 134	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. NN0 )
19		elfz3nn0 10129	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
20	19	3ad2ant1 1019	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> N e. NN0 )
21		elfz2nn0 10126	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
22	8	3ad2ant1 1019	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> M e. RR )
23		resubcl 8235	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M - K ) e. RR )
24	22, 9, 23	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) e. RR )
25	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> M e. RR )
26		nn0re 9199	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
27	26	3ad2ant2 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> N e. RR )
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> N e. RR )
29		nn0ge0 9215	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> 0 <_ K )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> 0 <_ K )
31		subge02 8449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> ( M - K ) <_ M ) )
32	22, 9, 31	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( 0 <_ K <-> ( M - K ) <_ M ) )
33	30, 32	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) <_ M )
34		simpl3 1003	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> M <_ N )
35	24, 25, 28, 33, 34	letrd 8095	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) <_ N )
36	35	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( K e. NN0 -> ( M - K ) <_ N ) )
37	21, 36	sylbi 121	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K e. NN0 -> ( M - K ) <_ N ) )
38	1, 37	syl5com 29	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M - K ) <_ N ) )
39	38	a1dd 48	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ M -> ( M - K ) <_ N ) ) )
40	39	3imp 1194	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) <_ N )
41		elfz2nn0 10126	. 2 |- ( ( M - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( M - K ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( M - K ) <_ N ) )
42	18, 20, 40, 41	syl3anbrc 1182	1 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   RRcr 7824   0cc0 7825   <_ cle 8007   - cmin 8142   NN0cn0 9190   ZZcz 9267   ...cfz 10022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023

This theorem is referenced by: (None)