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Theorem difelfzle 10541
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ( 0 ... N ) )
Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 10521 . . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
2 elfznn0 10521 . . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. NN0 )
3 nn0z 9664 . . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
4 nn0z 9664 . . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
5 zsubcl 9685 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M - K ) e. ZZ )
63, 4, 5syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( M - K ) e. ZZ )
76adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ZZ )
8 nn0re 9572 . . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
9 nn0re 9572 . . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
10 subge0 8803 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ ( M - K ) <-> K <_ M ) )
118, 9, 10syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( M - K ) <-> K <_ M ) )
1211biimpar 297 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> 0 <_ ( M - K ) )
137, 12jca 306 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
1413exp31 364 . . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K <_ M -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) ) ) )
151, 2, 14syl2im 38 . . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ M -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) ) ) )
16153imp 1224 . . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
17 elnn0z 9657 . . 3 |- ( ( M - K ) e. NN0 <-> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
1816, 17sylibr 134 . 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. NN0 )
19 elfz3nn0 10522 . . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
20193ad2ant1 1049 . 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> N e. NN0 )
21 elfz2nn0 10519 . . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
2283ad2ant1 1049 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> M e. RR )
23 resubcl 8590 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M - K ) e. RR )
2422, 9, 23syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) e. RR )
2522adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> M e. RR )
26 nn0re 9572 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
27263ad2ant2 1050 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> N e. RR )
2827adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> N e. RR )
29 nn0ge0 9588 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> 0 <_ K )
3029adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> 0 <_ K )
31 subge02 8806 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> ( M - K ) <_ M ) )
3222, 9, 31syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( 0 <_ K <-> ( M - K ) <_ M ) )
3330, 32mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) <_ M )
34 simpl3 1033 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> M <_ N )
3524, 25, 28, 33, 34letrd 8450 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) <_ N )
3635ex 115 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( K e. NN0 -> ( M - K ) <_ N ) )
3721, 36sylbi 121 . . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K e. NN0 -> ( M - K ) <_ N ) )
381, 37syl5com 29 . . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M - K ) <_ N ) )
3938a1dd 48 . . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ M -> ( M - K ) <_ N ) ) )
40393imp 1224 . 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) <_ N )
41 elfz2nn0 10519 . 2 |- ( ( M - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( M - K ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( M - K ) <_ N ) )
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1212 1 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ( 0 ... N ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   <_ cle 8361   - cmin 8497   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ...cfz 10411
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412
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