Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  difelfzle Unicode version

Theorem difelfzle 9904
 Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 9887 . . . . 5
2 elfznn0 9887 . . . . 5
3 nn0z 9067 . . . . . . . . 9
4 nn0z 9067 . . . . . . . . 9
5 zsubcl 9088 . . . . . . . . 9
63, 4, 5syl2anr 288 . . . . . . . 8
76adantr 274 . . . . . . 7
8 nn0re 8979 . . . . . . . . 9
9 nn0re 8979 . . . . . . . . 9
10 subge0 8230 . . . . . . . . 9
118, 9, 10syl2anr 288 . . . . . . . 8
1211biimpar 295 . . . . . . 7
137, 12jca 304 . . . . . 6
1413exp31 361 . . . . 5
151, 2, 14syl2im 38 . . . 4
16153imp 1175 . . 3
17 elnn0z 9060 . . 3
1816, 17sylibr 133 . 2
19 elfz3nn0 9888 . . 3
21 elfz2nn0 9885 . . . . . 6
2283ad2ant1 1002 . . . . . . . . 9
23 resubcl 8019 . . . . . . . . 9
2422, 9, 23syl2an 287 . . . . . . . 8
2522adantr 274 . . . . . . . 8
26 nn0re 8979 . . . . . . . . . 10
27263ad2ant2 1003 . . . . . . . . 9
2827adantr 274 . . . . . . . 8
29 nn0ge0 8995 . . . . . . . . . 10
3029adantl 275 . . . . . . . . 9
31 subge02 8233 . . . . . . . . . 10
3222, 9, 31syl2an 287 . . . . . . . . 9
3330, 32mpbid 146 . . . . . . . 8
34 simpl3 986 . . . . . . . 8
3524, 25, 28, 33, 34letrd 7879 . . . . . . 7
3635ex 114 . . . . . 6
3721, 36sylbi 120 . . . . 5
381, 37syl5com 29 . . . 4
3938a1dd 48 . . 3
40393imp 1175 . 2
41 elfz2nn0 9885 . 2
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1165 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 962   wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  cr 7612  cc0 7613   cle 7794   cmin 7926  cn0 8970  cz 9047  cfz 9783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator