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Theorem difelfzle 10083
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 10063 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
2 elfznn0 10063 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
3 nn0z 9225 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
4 nn0z 9225 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
5 zsubcl 9246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  -  K
)  e.  ZZ )
63, 4, 5syl2anr 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  e.  ZZ )
76adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  ( M  -  K )  e.  ZZ )
8 nn0re 9137 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
9 nn0re 9137 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
10 subge0 8387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( M  -  K )  <->  K  <_  M ) )
118, 9, 10syl2anr 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M  -  K )  <->  K  <_  M ) )
1211biimpar 295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  0  <_  ( M  -  K )
)
137, 12jca 304 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  M )  ->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( M  -  K
) ) )
1413exp31 362 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  M  ->  (
( M  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) ) ) )
151, 2, 14syl2im 38 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  <_  M  ->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) ) ) )
16153imp 1188 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( M  -  K ) ) )
17 elnn0z 9218 . . 3  |-  ( ( M  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( M  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( M  -  K
) ) )
1816, 17sylibr 133 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  NN0 )
19 elfz3nn0 10064 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
20193ad2ant1 1013 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  ->  N  e.  NN0 )
21 elfz2nn0 10061 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
2283ad2ant1 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  RR )
23 resubcl 8176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  -  K
)  e.  RR )
2422, 9, 23syl2an 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  e.  RR )
2522adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
26 nn0re 9137 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
27263ad2ant2 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  RR )
2827adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
29 nn0ge0 9153 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  <_  K )
3029adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  <_  K )
31 subge02 8390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  K  <->  ( M  -  K )  <_  M ) )
3222, 9, 31syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  K  <->  ( M  -  K )  <_  M ) )
3330, 32mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  <_  M )
34 simpl3 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  ->  M  <_  N )
3524, 25, 28, 33, 34letrd 8036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
3635ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( M  -  K )  <_  N ) )
3721, 36sylbi 120 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( M  -  K )  <_  N ) )
381, 37syl5com 29 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
)
3938a1dd 48 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  <_  M  ->  ( M  -  K
)  <_  N )
) )
40393imp 1188 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  <_  N )
41 elfz2nn0 10061 . 2  |-  ( ( M  -  K )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( M  -  K )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( M  -  K )  <_  N
) )
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1176 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  M )  -> 
( M  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7766   0cc0 7767    <_ cle 7948    - cmin 8083   NN0cn0 9128   ZZcz 9205   ...cfz 9958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959
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