Theorem difelfzle 9942

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfzle	|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 9925	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
2		elfznn0 9925	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. NN0 )
3		nn0z 9098	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
4		nn0z 9098	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
5		zsubcl 9119	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M - K ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2anr 288	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( M - K ) e. ZZ )
7	6	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ZZ )
8		nn0re 9010	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
9		nn0re 9010	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
10		subge0 8261	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ ( M - K ) <-> K <_ M ) )
11	8, 9, 10	syl2anr 288	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( M - K ) <-> K <_ M ) )
12	11	biimpar 295	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> 0 <_ ( M - K ) )
13	7, 12	jca 304	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
14	13	exp31 362	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K <_ M -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) ) ) )
15	1, 2, 14	syl2im 38	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ M -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) ) ) )
16	15	3imp 1176	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
17		elnn0z 9091	. . 3 |- ( ( M - K ) e. NN0 <-> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
18	16, 17	sylibr 133	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. NN0 )
19		elfz3nn0 9926	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
20	19	3ad2ant1 1003	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> N e. NN0 )
21		elfz2nn0 9923	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
22	8	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> M e. RR )
23		resubcl 8050	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M - K ) e. RR )
24	22, 9, 23	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) e. RR )
25	22	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> M e. RR )
26		nn0re 9010	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
27	26	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> N e. RR )
28	27	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> N e. RR )
29		nn0ge0 9026	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> 0 <_ K )
30	29	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> 0 <_ K )
31		subge02 8264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> ( M - K ) <_ M ) )
32	22, 9, 31	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( 0 <_ K <-> ( M - K ) <_ M ) )
33	30, 32	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) <_ M )
34		simpl3 987	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> M <_ N )
35	24, 25, 28, 33, 34	letrd 7910	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) <_ N )
36	35	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( K e. NN0 -> ( M - K ) <_ N ) )
37	21, 36	sylbi 120	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K e. NN0 -> ( M - K ) <_ N ) )
38	1, 37	syl5com 29	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M - K ) <_ N ) )
39	38	a1dd 48	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ M -> ( M - K ) <_ N ) ) )
40	39	3imp 1176	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) <_ N )
41		elfz2nn0 9923	. 2 |- ( ( M - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( M - K ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( M - K ) <_ N ) )
42	18, 20, 40, 41	syl3anbrc 1166	1 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   <_ cle 7825   - cmin 7957   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by: (None)