Theorem difelfzle 10256

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfzle	|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10236	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
2		elfznn0 10236	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. NN0 )
3		nn0z 9392	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
4		nn0z 9392	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
5		zsubcl 9413	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M - K ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( M - K ) e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ZZ )
8		nn0re 9304	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
9		nn0re 9304	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
10		subge0 8548	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ ( M - K ) <-> K <_ M ) )
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( M - K ) <-> K <_ M ) )
12	11	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> 0 <_ ( M - K ) )
13	7, 12	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) /\ K <_ M ) -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
14	13	exp31 364	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K <_ M -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) ) ) )
15	1, 2, 14	syl2im 38	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ M -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) ) ) )
16	15	3imp 1196	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
17		elnn0z 9385	. . 3 |- ( ( M - K ) e. NN0 <-> ( ( M - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( M - K ) ) )
18	16, 17	sylibr 134	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. NN0 )
19		elfz3nn0 10237	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
20	19	3ad2ant1 1021	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> N e. NN0 )
21		elfz2nn0 10234	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
22	8	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> M e. RR )
23		resubcl 8336	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M - K ) e. RR )
24	22, 9, 23	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) e. RR )
25	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> M e. RR )
26		nn0re 9304	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
27	26	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> N e. RR )
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> N e. RR )
29		nn0ge0 9320	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> 0 <_ K )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> 0 <_ K )
31		subge02 8551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> ( M - K ) <_ M ) )
32	22, 9, 31	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( 0 <_ K <-> ( M - K ) <_ M ) )
33	30, 32	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) <_ M )
34		simpl3 1005	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> M <_ N )
35	24, 25, 28, 33, 34	letrd 8196	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ K e. NN0 ) -> ( M - K ) <_ N )
36	35	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( K e. NN0 -> ( M - K ) <_ N ) )
37	21, 36	sylbi 121	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K e. NN0 -> ( M - K ) <_ N ) )
38	1, 37	syl5com 29	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M - K ) <_ N ) )
39	38	a1dd 48	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( M e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ M -> ( M - K ) <_ N ) ) )
40	39	3imp 1196	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) <_ N )
41		elfz2nn0 10234	. 2 |- ( ( M - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( M - K ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( M - K ) <_ N ) )
42	18, 20, 40, 41	syl3anbrc 1184	1 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ K <_ M ) -> ( M - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   RRcr 7924   0cc0 7925   <_ cle 8108   - cmin 8243   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131

This theorem is referenced by: (None)