Theorem znn0sub 9710

Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Generalization of nn0sub 9711.) (Contributed by NM, 14-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
znn0sub	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( N - M ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem znn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9648	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2		zre 9648	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
3		subge0 8803	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> M <_ N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> M <_ N ) )
5		zsubcl 9685	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
6	5	biantrurd 305	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) ) )
7	4, 6	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) ) )
8	7	ancoms 268	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) ) )
9		elnn0z 9657	. 2 |- ( ( N - M ) e. NN0 <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) )
10	8, 9	bitr4di 198	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( N - M ) e. NN0 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   <_ cle 8361   - cmin 8497   NN0cn0 9563   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  nn0sub  9711  peano5uzti  9754  uznn0sub  9954  elfzmlbp  10539  pfxccatin12  11505  cvgratnnlemrate  12297