Theorem znn0sub 9645

Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Generalization of nn0sub 9646.) (Contributed by NM, 14-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
znn0sub	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( N - M ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem znn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9583	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2		zre 9583	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
3		subge0 8751	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> M <_ N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> M <_ N ) )
5		zsubcl 9620	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
6	5	biantrurd 305	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) ) )
7	4, 6	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) ) )
8	7	ancoms 268	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) ) )
9		elnn0z 9592	. 2 |- ( ( N - M ) e. NN0 <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) )
10	8, 9	bitr4di 198	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( N - M ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   RRcr 8128   0cc0 8129   <_ cle 8311   - cmin 8446   NN0cn0 9498   ZZcz 9579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580

This theorem is referenced by:  nn0sub  9646  peano5uzti  9689  uznn0sub  9889  elfzmlbp  10470  pfxccatin12  11429  cvgratnnlemrate  12220