Theorem znn0sub 9294

Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Generalization of nn0sub 9295.) (Contributed by NM, 14-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
znn0sub	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( N - M ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem znn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9233	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2		zre 9233	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
3		subge0 8409	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> M <_ N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> M <_ N ) )
5		zsubcl 9270	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
6	5	biantrurd 305	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) ) )
7	4, 6	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) ) )
8	7	ancoms 268	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) ) )
9		elnn0z 9242	. 2 |- ( ( N - M ) e. NN0 <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) )
10	8, 9	bitr4di 198	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( N - M ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   RRcr 7788   0cc0 7789   <_ cle 7970   - cmin 8105   NN0cn0 9152   ZZcz 9229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230

This theorem is referenced by:  nn0sub  9295  peano5uzti  9337  uznn0sub  9535  elfzmlbp  10105  cvgratnnlemrate  11509