ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subneg GIF version

Theorem subneg 7634
Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subneg ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subneg
StepHypRef Expression
1 df-neg 7559 . . . 4 -𝐵 = (0 − 𝐵)
21oveq2i 5602 . . 3 (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 − (0 − 𝐵))
3 0cn 7383 . . . 4 0 ∈ ℂ
4 subsub 7615 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (0 − 𝐵)) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
53, 4mp3an2 1257 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (0 − 𝐵)) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
62, 5syl5eq 2127 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
7 subid1 7605 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
87adantr 270 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
98oveq1d 5606 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 0) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
106, 9eqtrd 2115 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5591  cc 7251  0cc0 7253   + caddc 7256  cmin 7556  -cneg 7557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-setind 4316  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-sub 7558  df-neg 7559
This theorem is referenced by:  negneg  7635  negdi  7642  neg2sub  7645  subnegi  7664  subnegd  7703  recextlem1  8018  fzshftral  9415  shftval4  10090  summodnegmod  10607
  Copyright terms: Public domain W3C validator