Theorem subneg 8540

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8465	. . . 4 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
2	1	oveq2i 6070	. . 3 ⊢ (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 − (0 − 𝐵))
3		0cn 8283	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		subsub 8521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (0 − 𝐵)) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
5	3, 4	mp3an2 1362	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (0 − 𝐵)) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
6	2, 5	eqtrid 2279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
7		subid1 8511	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
9	8	oveq1d 6074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 0) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
10	6, 9	eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6059  ℂcc 8142  0cc0 8144   + caddc 8147   − cmin 8462  -cneg 8463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-setind 4665  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-sub 8464  df-neg 8465

This theorem is referenced by:  negneg  8541  negdi  8548  neg2sub  8551  subnegi  8570  subnegd  8609  recextlem1  8944  fzshftral  10468  shftval4  11542  fsumshftm  12161  eftlub  12406  summodnegmod  12538  wilthlem1  15979