ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  summodnegmod Unicode version

Theorem summodnegmod 11254
Description: The sum of two integers modulo a positive integer equals zero iff the first of the two integers equals the negative of the other integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
summodnegmod  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A  +  B )  mod  N
)  =  0  <->  ( A  mod  N )  =  ( -u B  mod  N ) ) )

Proof of Theorem summodnegmod
StepHypRef Expression
1 simp3 948 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
2 simp1 946 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
3 znegcl 8879 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  -u B  e.  ZZ )
433ad2ant2 968 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  -u B  e.  ZZ )
5 moddvds 11232 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  -u B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  N
)  =  ( -u B  mod  N )  <->  N  ||  ( A  -  -u B ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1181 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  mod  N
)  =  ( -u B  mod  N )  <->  N  ||  ( A  -  -u B ) ) )
7 zcn 8853 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
8 zcn 8853 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
97, 8anim12i 332 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
1093adant3 966 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
11 subneg 7828 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  -u B
)  =  ( A  +  B ) )
1211eqcomd 2100 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( A  -  -u B ) )
1310, 12syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  +  B )  =  ( A  -  -u B ) )
1413breq2d 3879 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( A  +  B )  <->  N  ||  ( A  -  -u B ) ) )
15 zaddcl 8888 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
16153adant3 966 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  +  B )  e.  ZZ )
17 dvdsval3 11227 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  +  B
)  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( A  +  B
)  <->  ( ( A  +  B )  mod 
N )  =  0 ) )
181, 16, 17syl2anc 404 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( A  +  B )  <->  ( ( A  +  B )  mod  N )  =  0 ) )
196, 14, 183bitr2rd 216 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A  +  B )  mod  N
)  =  0  <->  ( A  mod  N )  =  ( -u B  mod  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 927    = wceq 1296    e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   CCcc 7445   0cc0 7447    + caddc 7450    - cmin 7750   -ucneg 7751   NNcn 8520   ZZcz 8848    mod cmo 9878    || cdvds 11223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-fl 9826  df-mod 9879  df-dvds 11224
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator