Theorem summodnegmod 11861

Description: The sum of two integers modulo a positive integer equals zero iff the first of the two integers equals the negative of the other integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
summodnegmod	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A + B ) mod N ) = 0 <-> ( A mod N ) = ( -u B mod N ) ) )

Proof of Theorem summodnegmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1001	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
2		simp1 999	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> A e. ZZ )
3		znegcl 9314	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> -u B e. ZZ )
4	3	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> -u B e. ZZ )
5		moddvds 11838	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ -u B e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = ( -u B mod N ) <-> N || ( A - -u B ) ) )
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod N ) = ( -u B mod N ) <-> N || ( A - -u B ) ) )
7		zcn 9288	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
8		zcn 9288	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
9	7, 8	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
10	9	3adant3 1019	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
11		subneg 8236	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )
12	11	eqcomd 2195	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( A - -u B ) )
13	10, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A + B ) = ( A - -u B ) )
14	13	breq2d 4030	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N || ( A + B ) <-> N || ( A - -u B ) ) )
15		zaddcl 9323	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
16	15	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A + B ) e. ZZ )
17		dvdsval3 11830	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A + B ) e. ZZ ) -> ( N || ( A + B ) <-> ( ( A + B ) mod N ) = 0 ) )
18	1, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N || ( A + B ) <-> ( ( A + B ) mod N ) = 0 ) )
19	6, 14, 18	3bitr2rd 217	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A + B ) mod N ) = 0 <-> ( A mod N ) = ( -u B mod N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896   CCcc 7839   0cc0 7841   + caddc 7844   - cmin 8158   -ucneg 8159   NNcn 8949   ZZcz 9283   mod cmo 10353   || cdvds 11826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-q 9650  df-rp 9684  df-fl 10301  df-mod 10354  df-dvds 11827

This theorem is referenced by: (None)