Theorem summodnegmod 11254

Description: The sum of two integers modulo a positive integer equals zero iff the first of the two integers equals the negative of the other integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
summodnegmod	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A + B ) mod N ) = 0 <-> ( A mod N ) = ( -u B mod N ) ) )

Proof of Theorem summodnegmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 948	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
2		simp1 946	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> A e. ZZ )
3		znegcl 8879	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> -u B e. ZZ )
4	3	3ad2ant2 968	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> -u B e. ZZ )
5		moddvds 11232	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ -u B e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = ( -u B mod N ) <-> N || ( A - -u B ) ) )
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1181	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod N ) = ( -u B mod N ) <-> N || ( A - -u B ) ) )
7		zcn 8853	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
8		zcn 8853	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
9	7, 8	anim12i 332	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
10	9	3adant3 966	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
11		subneg 7828	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )
12	11	eqcomd 2100	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( A - -u B ) )
13	10, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A + B ) = ( A - -u B ) )
14	13	breq2d 3879	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N || ( A + B ) <-> N || ( A - -u B ) ) )
15		zaddcl 8888	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
16	15	3adant3 966	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A + B ) e. ZZ )
17		dvdsval3 11227	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A + B ) e. ZZ ) -> ( N || ( A + B ) <-> ( ( A + B ) mod N ) = 0 ) )
18	1, 16, 17	syl2anc 404	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N || ( A + B ) <-> ( ( A + B ) mod N ) = 0 ) )
19	6, 14, 18	3bitr2rd 216	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A + B ) mod N ) = 0 <-> ( A mod N ) = ( -u B mod N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 927   = wceq 1296   e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   CCcc 7445   0cc0 7447   + caddc 7450   - cmin 7750   -ucneg 7751   NNcn 8520   ZZcz 8848   mod cmo 9878   || cdvds 11223

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-fl 9826  df-mod 9879  df-dvds 11224

This theorem is referenced by: (None)