Theorem summodnegmod 11987

Description: The sum of two integers modulo a positive integer equals zero iff the first of the two integers equals the negative of the other integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
summodnegmod	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A + B ) mod N ) = 0 <-> ( A mod N ) = ( -u B mod N ) ) )

Proof of Theorem summodnegmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1001	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
2		simp1 999	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> A e. ZZ )
3		znegcl 9357	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> -u B e. ZZ )
4	3	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> -u B e. ZZ )
5		moddvds 11964	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ -u B e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = ( -u B mod N ) <-> N || ( A - -u B ) ) )
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod N ) = ( -u B mod N ) <-> N || ( A - -u B ) ) )
7		zcn 9331	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
8		zcn 9331	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
9	7, 8	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
10	9	3adant3 1019	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
11		subneg 8275	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )
12	11	eqcomd 2202	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( A - -u B ) )
13	10, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A + B ) = ( A - -u B ) )
14	13	breq2d 4045	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N || ( A + B ) <-> N || ( A - -u B ) ) )
15		zaddcl 9366	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
16	15	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A + B ) e. ZZ )
17		dvdsval3 11956	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A + B ) e. ZZ ) -> ( N || ( A + B ) <-> ( ( A + B ) mod N ) = 0 ) )
18	1, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N || ( A + B ) <-> ( ( A + B ) mod N ) = 0 ) )
19	6, 14, 18	3bitr2rd 217	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A + B ) mod N ) = 0 <-> ( A mod N ) = ( -u B mod N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   + caddc 7882   - cmin 8197   -ucneg 8198   NNcn 8990   ZZcz 9326   mod cmo 10414   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-mod 10415  df-dvds 11953

This theorem is referenced by: (None)