ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  summodnegmod Unicode version

Theorem summodnegmod 11531
Description: The sum of two integers modulo a positive integer equals zero iff the first of the two integers equals the negative of the other integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
summodnegmod  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A  +  B )  mod  N
)  =  0  <->  ( A  mod  N )  =  ( -u B  mod  N ) ) )

Proof of Theorem summodnegmod
StepHypRef Expression
1 simp3 983 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
2 simp1 981 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
3 znegcl 9092 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  -u B  e.  ZZ )
433ad2ant2 1003 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  -u B  e.  ZZ )
5 moddvds 11509 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  -u B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  N
)  =  ( -u B  mod  N )  <->  N  ||  ( A  -  -u B ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  mod  N
)  =  ( -u B  mod  N )  <->  N  ||  ( A  -  -u B ) ) )
7 zcn 9066 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
8 zcn 9066 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
97, 8anim12i 336 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
1093adant3 1001 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
11 subneg 8018 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  -u B
)  =  ( A  +  B ) )
1211eqcomd 2145 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( A  -  -u B ) )
1310, 12syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  +  B )  =  ( A  -  -u B ) )
1413breq2d 3941 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( A  +  B )  <->  N  ||  ( A  -  -u B ) ) )
15 zaddcl 9101 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
16153adant3 1001 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  +  B )  e.  ZZ )
17 dvdsval3 11504 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  +  B
)  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( A  +  B
)  <->  ( ( A  +  B )  mod 
N )  =  0 ) )
181, 16, 17syl2anc 408 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( A  +  B )  <->  ( ( A  +  B )  mod  N )  =  0 ) )
196, 14, 183bitr2rd 216 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A  +  B )  mod  N
)  =  0  <->  ( A  mod  N )  =  ( -u B  mod  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7625   0cc0 7627    + caddc 7630    - cmin 7940   -ucneg 7941   NNcn 8727   ZZcz 9061    mod cmo 10102    || cdvds 11500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-q 9419  df-rp 9449  df-fl 10050  df-mod 10103  df-dvds 11501
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator