Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumz Unicode version

Theorem isumz 11279
 Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
isumz DECID
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem isumz
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2157 . . . 4
2 simp1 982 . . . 4 DECID
3 simp2 983 . . . 4 DECID
4 c0ex 7866 . . . . . . 7
54fvconst2 5682 . . . . . 6
65adantl 275 . . . . 5 DECID
7 eleq1w 2218 . . . . . . . 8
87dcbid 824 . . . . . . 7 DECID DECID
9 simpl3 987 . . . . . . 7 DECID DECID
10 simpr 109 . . . . . . 7 DECID
118, 9, 10rspcdva 2821 . . . . . 6 DECID DECID
12 ifiddc 3538 . . . . . 6 DECID
1311, 12syl 14 . . . . 5 DECID
146, 13eqtr4d 2193 . . . 4 DECID
15 simp3 984 . . . . 5 DECID DECID
16 eleq1w 2218 . . . . . . 7
1716dcbid 824 . . . . . 6 DECID DECID
1817cbvralv 2680 . . . . 5 DECID DECID
1915, 18sylib 121 . . . 4 DECID DECID
20 0cnd 7865 . . . 4 DECID
211, 2, 3, 14, 19, 20zsumdc 11274 . . 3 DECID
22 fclim 11184 . . . . 5
23 ffun 5321 . . . . 5
2422, 23ax-mp 5 . . . 4
25 serclim0 11195 . . . . 5
262, 25syl 14 . . . 4 DECID
27 funbrfv 5506 . . . 4
2824, 26, 27mpsyl 65 . . 3 DECID
2921, 28eqtrd 2190 . 2 DECID
30 fz1f1o 11265 . . 3
31 sumeq1 11245 . . . . 5
32 sum0 11278 . . . . 5
3331, 32eqtrdi 2206 . . . 4
34 eqidd 2158 . . . . . . . . 9
35 simpl 108 . . . . . . . . 9
36 simpr 109 . . . . . . . . 9
37 0cnd 7865 . . . . . . . . 9
38 elfznn 9949 . . . . . . . . . . 11
394fvconst2 5682 . . . . . . . . . . 11
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . 10
4140adantl 275 . . . . . . . . 9
4234, 35, 36, 37, 41fsum3 11277 . . . . . . . 8
43 nnuz 9468 . . . . . . . . . . . . 13
4443fser0const 10408 . . . . . . . . . . . 12
4544seqeq3d 10345 . . . . . . . . . . 11
4645fveq1d 5469 . . . . . . . . . 10
4743ser0 10406 . . . . . . . . . 10
4846, 47eqtrd 2190 . . . . . . . . 9
4935, 48syl 14 . . . . . . . 8
5042, 49eqtrd 2190 . . . . . . 7
5150ex 114 . . . . . 6
5251exlimdv 1799 . . . . 5
5352imp 123 . . . 4
5433, 53jaoi 706 . . 3
5530, 54syl 14 . 2
5629, 55jaoi 706 1 DECID
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wo 698  DECID wdc 820   w3a 963   wceq 1335  wex 1472   wcel 2128  wral 2435   wss 3102  c0 3394  cif 3505  csn 3560   class class class wbr 3965   cmpt 4025   cxp 4583   cdm 4585   wfun 5163  wf 5165  wf1o 5168  cfv 5169  (class class class)co 5821  cfn 6682  cc 7724  cc0 7726  c1 7727   caddc 7729   cle 7907  cn 8827  cz 9161  cuz 9433  cfz 9905   cseq 10337  ♯chash 10642   cli 11168  csu 11243 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-sumdc 11244 This theorem is referenced by:  fsum00  11352  nconstwlpolem0  13604
 Copyright terms: Public domain W3C validator