Theorem fsumadd 11347

Description: The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumadd.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumadd.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumadd.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumadd	|- ( ph -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fsumadd

Dummy variables f j n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8039	. . . . 5 |- ( 0 + 0 ) = 0
2		sum0 11329	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) B = 0
3		sum0 11329	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) C = 0
4	2, 3	oveq12i 5854	. . . . 5 |- ( sum_ k e. (/) B + sum_ k e. (/) C ) = ( 0 + 0 )
5		sum0 11329	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) ( B + C ) = 0
6	1, 4, 5	3eqtr4ri 2197	. . . 4 |- sum_ k e. (/) ( B + C ) = ( sum_ k e. (/) B + sum_ k e. (/) C )
7		sumeq1 11296	. . . 4 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( B + C ) = sum_ k e. (/) ( B + C ) )
8		sumeq1 11296	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
9		sumeq1 11296	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. (/) C )
10	8, 9	oveq12d 5860	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) = ( sum_ k e. (/) B + sum_ k e. (/) C ) )
11	6, 7, 10	3eqtr4a 2225	. . 3 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
13		simprl 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
14		nnuz 9501	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15	13, 14	eleqtrdi 2259	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
16		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
17		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> n <_ (♯ ` A ) ) )
18		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) )
19	17, 18	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
20		elnnuz 9502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
21	20	biimpri 132	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. NN )
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> n e. NN )
23		fsumadd.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
24	23	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
25	24	fmpttd 5640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
26		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
27		f1of 5432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
29		fco 5353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
30	25, 28, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
31	30	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
32		1zzd 9218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
33	13	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
34	33	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
35		eluzelz 9475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. ZZ )
36	35	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> n e. ZZ )
37	32, 34, 36	3jca 1167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) )
38		eluzle 9478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ n )
39	38	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ n )
40		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> n <_ (♯ ` A ) )
41	39, 40	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ n /\ n <_ (♯ ` A ) ) )
42		elfz2 9951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( 1 <_ n /\ n <_ (♯ ` A ) ) ) )
43	37, 41, 42	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
44	31, 43	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) e. CC )
45		0cnd 7892	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
46	22	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> n e. ZZ )
47	13	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
48	47	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
49		zdcle 9267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID n <_ (♯ ` A ) )
50	46, 48, 49	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID n <_ (♯ ` A ) )
51	44, 45, 50	ifcldadc 3549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) e. CC )
52	16, 19, 22, 51	fvmptd3 5579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
53	52, 51	eqeltrd 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) e. CC )
54		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
55		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) )
56	17, 55	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
57		fsumadd.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
58	57	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
59	58	fmpttd 5640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
60	59	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
61	28	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
62		fco 5353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. A |-> C ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
63	60, 61, 62	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
64	63, 43	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) e. CC )
65	64, 45, 50	ifcldadc 3549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) e. CC )
66	54, 56, 22, 65	fvmptd3 5579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
67	66, 65	eqeltrd 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) e. CC )
68		simpll 519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
69	28	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( f ` n ) e. A )
70		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
71	23, 57	addcld 7918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. CC )
72		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. A |-> ( B + C ) ) = ( k e. A |-> ( B + C ) )
73	72	fvmpt2 5569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. A /\ ( B + C ) e. CC ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( B + C ) )
74	70, 71, 73	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( B + C ) )
75		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
76	75	fvmpt2 5569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. A /\ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = B )
77	70, 23, 76	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = B )
78		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
79	78	fvmpt2 5569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. A /\ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = C )
80	70, 57, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = C )
81	77, 80	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) = ( B + C ) )
82	74, 81	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
83	82	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
84	83	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
85		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) )
86		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) )
87		nfcv 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k +
88		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) )
89	86, 87, 88	nfov 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
90	85, 89	nfeq 2316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
91		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
92		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
93		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
94	92, 93	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
95	91, 94	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) <-> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) ) )
96	90, 95	rspc 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` n ) e. A -> ( A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) ) )
97	69, 84, 96	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
98		fvco3 5557	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
99	28, 98	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
100		fvco3 5557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
101	28, 100	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
102		fvco3 5557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
103	28, 102	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
104	101, 103	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
105	97, 99, 104	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) )
106	68, 43, 105	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) )
107	40	iftrued 3527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) )
108	40	iftrued 3527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) )
109	40	iftrued 3527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) )
110	108, 109	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) )
111	106, 107, 110	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
112	1	eqcomi 2169	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = ( 0 + 0 )
113		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> -. n <_ (♯ ` A ) )
114	113	iffalsed 3530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = 0 )
115	113	iffalsed 3530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = 0 )
116	113	iffalsed 3530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) = 0 )
117	115, 116	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
118	112, 114, 117	3eqtr4a 2225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
119		exmiddc 826	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID n <_ (♯ ` A ) -> ( n <_ (♯ ` A ) \/ -. n <_ (♯ ` A ) ) )
120	50, 119	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( n <_ (♯ ` A ) \/ -. n <_ (♯ ` A ) ) )
121	111, 118, 120	mpjaodan 788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
122		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
123		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) = ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) )
124	17, 123	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
125	71	fmpttd 5640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC )
126	125	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC )
127		fco 5353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
128	126, 61, 127	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
129	128, 43	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) e. CC )
130	129, 45, 50	ifcldadc 3549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) e. CC )
131	122, 124, 22, 130	fvmptd3 5579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
132	52, 66	oveq12d 5860	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) + ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
133	121, 131, 132	3eqtr4d 2208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = ( ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) + ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) ) )
134	15, 53, 67, 133	ser3add 10440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) + ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
135		fveq2 5486	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
136	24, 58	addcld 7918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. CC )
137	136	fmpttd 5640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC )
138	137	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) e. CC )
139	135, 13, 26, 138, 99	fsum3 11328	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
140		breq1 3985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> j <_ (♯ ` A ) ) )
141		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) )
142	140, 141	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
143	142	cbvmptv 4078	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
144		seqeq3 10385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) )
145	143, 144	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) )
146	145	fveq1i 5487	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) )
147	139, 146	eqtrdi 2215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
148		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
149	25	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
150	148, 13, 26, 149, 101	fsum3 11328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
151		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) )
152	140, 151	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
153	152	cbvmptv 4078	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
154		seqeq3 10385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) )
155	153, 154	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) )
156	155	fveq1i 5487	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) )
157	150, 156	eqtrdi 2215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
158		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
159	59	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
160	158, 13, 26, 159, 103	fsum3 11328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
161		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) )
162	140, 161	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
163	162	cbvmptv 4078	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
164		seqeq3 10385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) )
165	163, 164	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) )
166	165	fveq1i 5487	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) )
167	160, 166	eqtrdi 2215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
168	157, 167	oveq12d 5860	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) + ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
169	134, 147, 168	3eqtr4d 2208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) )
170	71	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( B + C ) e. CC )
171		sumfct 11315	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A ( B + C ) e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( B + C ) )
172	170, 171	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( B + C ) )
173	172	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( B + C ) )
174	23	ralrimiva 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
175		sumfct 11315	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
176	174, 175	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
177	57	ralrimiva 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
178		sumfct 11315	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
179	177, 178	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
180	176, 179	oveq12d 5860	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
181	180	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
182	169, 173, 181	3eqtr3d 2206	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
183	182	expr 373	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
184	183	exlimdv 1807	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
185	184	expimpd 361	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
186		fsumadd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
187		fz1f1o 11316	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
188	186, 187	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
189	12, 185, 188	mpjaod 708	1 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   (/)c0 3409   ifcif 3520   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   o. ccom 4608   -->wf 5184   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Fincfn 6706   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   <_ cle 7934   NNcn 8857   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   seqcseq 10380  ♯chash 10688   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11348  fsumsub  11393  binomlem  11424  pcbc  12281