Theorem fsumadd 11369

Description: The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumadd.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumadd.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumadd.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumadd	|- ( ph -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fsumadd

Dummy variables f j n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8060	. . . . 5 |- ( 0 + 0 ) = 0
2		sum0 11351	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) B = 0
3		sum0 11351	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) C = 0
4	2, 3	oveq12i 5865	. . . . 5 |- ( sum_ k e. (/) B + sum_ k e. (/) C ) = ( 0 + 0 )
5		sum0 11351	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) ( B + C ) = 0
6	1, 4, 5	3eqtr4ri 2202	. . . 4 |- sum_ k e. (/) ( B + C ) = ( sum_ k e. (/) B + sum_ k e. (/) C )
7		sumeq1 11318	. . . 4 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( B + C ) = sum_ k e. (/) ( B + C ) )
8		sumeq1 11318	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
9		sumeq1 11318	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. (/) C )
10	8, 9	oveq12d 5871	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) = ( sum_ k e. (/) B + sum_ k e. (/) C ) )
11	6, 7, 10	3eqtr4a 2229	. . 3 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
13		simprl 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
14		nnuz 9522	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15	13, 14	eleqtrdi 2263	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
16		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
17		breq1 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> n <_ (♯ ` A ) ) )
18		fveq2 5496	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) )
19	17, 18	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
20		elnnuz 9523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
21	20	biimpri 132	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. NN )
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> n e. NN )
23		fsumadd.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
24	23	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
25	24	fmpttd 5651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
26		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
27		f1of 5442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
29		fco 5363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
30	25, 28, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
31	30	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
32		1zzd 9239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
33	13	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
34	33	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
35		eluzelz 9496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. ZZ )
36	35	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> n e. ZZ )
37	32, 34, 36	3jca 1172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) )
38		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ n )
39	38	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ n )
40		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> n <_ (♯ ` A ) )
41	39, 40	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ n /\ n <_ (♯ ` A ) ) )
42		elfz2 9972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( 1 <_ n /\ n <_ (♯ ` A ) ) ) )
43	37, 41, 42	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
44	31, 43	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) e. CC )
45		0cnd 7913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
46	22	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> n e. ZZ )
47	13	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
48	47	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
49		zdcle 9288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID n <_ (♯ ` A ) )
50	46, 48, 49	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID n <_ (♯ ` A ) )
51	44, 45, 50	ifcldadc 3555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) e. CC )
52	16, 19, 22, 51	fvmptd3 5589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
53	52, 51	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) e. CC )
54		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
55		fveq2 5496	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) )
56	17, 55	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
57		fsumadd.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
58	57	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
59	58	fmpttd 5651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
60	59	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
61	28	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
62		fco 5363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. A |-> C ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
63	60, 61, 62	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
64	63, 43	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) e. CC )
65	64, 45, 50	ifcldadc 3555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) e. CC )
66	54, 56, 22, 65	fvmptd3 5589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
67	66, 65	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) e. CC )
68		simpll 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
69	28	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( f ` n ) e. A )
70		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
71	23, 57	addcld 7939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. CC )
72		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. A |-> ( B + C ) ) = ( k e. A |-> ( B + C ) )
73	72	fvmpt2 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. A /\ ( B + C ) e. CC ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( B + C ) )
74	70, 71, 73	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( B + C ) )
75		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
76	75	fvmpt2 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. A /\ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = B )
77	70, 23, 76	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = B )
78		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
79	78	fvmpt2 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. A /\ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = C )
80	70, 57, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = C )
81	77, 80	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) = ( B + C ) )
82	74, 81	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
83	82	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
84	83	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
85		nffvmpt1 5507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) )
86		nffvmpt1 5507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) )
87		nfcv 2312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k +
88		nffvmpt1 5507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) )
89	86, 87, 88	nfov 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
90	85, 89	nfeq 2320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
91		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
92		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
93		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
94	92, 93	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
95	91, 94	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) <-> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) ) )
96	90, 95	rspc 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` n ) e. A -> ( A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) ) )
97	69, 84, 96	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
98		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
99	28, 98	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
100		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
101	28, 100	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
102		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
103	28, 102	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
104	101, 103	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
105	97, 99, 104	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) )
106	68, 43, 105	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) )
107	40	iftrued 3533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) )
108	40	iftrued 3533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) )
109	40	iftrued 3533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) )
110	108, 109	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) )
111	106, 107, 110	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
112	1	eqcomi 2174	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = ( 0 + 0 )
113		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> -. n <_ (♯ ` A ) )
114	113	iffalsed 3536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = 0 )
115	113	iffalsed 3536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = 0 )
116	113	iffalsed 3536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) = 0 )
117	115, 116	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
118	112, 114, 117	3eqtr4a 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
119		exmiddc 831	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID n <_ (♯ ` A ) -> ( n <_ (♯ ` A ) \/ -. n <_ (♯ ` A ) ) )
120	50, 119	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( n <_ (♯ ` A ) \/ -. n <_ (♯ ` A ) ) )
121	111, 118, 120	mpjaodan 793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
122		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
123		fveq2 5496	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) = ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) )
124	17, 123	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
125	71	fmpttd 5651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC )
126	125	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC )
127		fco 5363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
128	126, 61, 127	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
129	128, 43	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) e. CC )
130	129, 45, 50	ifcldadc 3555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) e. CC )
131	122, 124, 22, 130	fvmptd3 5589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
132	52, 66	oveq12d 5871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) + ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
133	121, 131, 132	3eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = ( ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) + ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) ) )
134	15, 53, 67, 133	ser3add 10461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) + ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
135		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
136	24, 58	addcld 7939	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. CC )
137	136	fmpttd 5651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC )
138	137	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) e. CC )
139	135, 13, 26, 138, 99	fsum3 11350	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
140		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> j <_ (♯ ` A ) ) )
141		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) )
142	140, 141	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
143	142	cbvmptv 4085	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
144		seqeq3 10406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) )
145	143, 144	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) )
146	145	fveq1i 5497	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) )
147	139, 146	eqtrdi 2219	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
148		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
149	25	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
150	148, 13, 26, 149, 101	fsum3 11350	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
151		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) )
152	140, 151	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
153	152	cbvmptv 4085	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
154		seqeq3 10406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) )
155	153, 154	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) )
156	155	fveq1i 5497	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) )
157	150, 156	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
158		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
159	59	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
160	158, 13, 26, 159, 103	fsum3 11350	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
161		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) )
162	140, 161	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
163	162	cbvmptv 4085	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
164		seqeq3 10406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) )
165	163, 164	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) )
166	165	fveq1i 5497	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) )
167	160, 166	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
168	157, 167	oveq12d 5871	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) + ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
169	134, 147, 168	3eqtr4d 2213	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) )
170	71	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( B + C ) e. CC )
171		sumfct 11337	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A ( B + C ) e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( B + C ) )
172	170, 171	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( B + C ) )
173	172	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( B + C ) )
174	23	ralrimiva 2543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
175		sumfct 11337	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
176	174, 175	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
177	57	ralrimiva 2543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
178		sumfct 11337	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
179	177, 178	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
180	176, 179	oveq12d 5871	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
181	180	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
182	169, 173, 181	3eqtr3d 2211	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
183	182	expr 373	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
184	183	exlimdv 1812	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
185	184	expimpd 361	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
186		fsumadd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
187		fz1f1o 11338	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
188	186, 187	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
189	12, 185, 188	mpjaod 713	1 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   (/)c0 3414   ifcif 3526   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   o. ccom 4615   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   <_ cle 7955   NNcn 8878   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965   seqcseq 10401  ♯chash 10709   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11370  fsumsub  11415  binomlem  11446  pcbc  12303