Theorem fsumadd 11398

Description: The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumadd.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumadd.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumadd.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumadd	|- ( ph -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fsumadd

Dummy variables f j n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8088	. . . . 5 |- ( 0 + 0 ) = 0
2		sum0 11380	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) B = 0
3		sum0 11380	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) C = 0
4	2, 3	oveq12i 5881	. . . . 5 |- ( sum_ k e. (/) B + sum_ k e. (/) C ) = ( 0 + 0 )
5		sum0 11380	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) ( B + C ) = 0
6	1, 4, 5	3eqtr4ri 2209	. . . 4 |- sum_ k e. (/) ( B + C ) = ( sum_ k e. (/) B + sum_ k e. (/) C )
7		sumeq1 11347	. . . 4 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( B + C ) = sum_ k e. (/) ( B + C ) )
8		sumeq1 11347	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
9		sumeq1 11347	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. (/) C )
10	8, 9	oveq12d 5887	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) = ( sum_ k e. (/) B + sum_ k e. (/) C ) )
11	6, 7, 10	3eqtr4a 2236	. . 3 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
13		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
14		nnuz 9552	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15	13, 14	eleqtrdi 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
16		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
17		breq1 4003	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> n <_ (♯ ` A ) ) )
18		fveq2 5511	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) )
19	17, 18	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
20		elnnuz 9553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
21	20	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. NN )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> n e. NN )
23		fsumadd.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
24	23	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
25	24	fmpttd 5667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
26		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
27		f1of 5457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
29		fco 5377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
30	25, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
32		1zzd 9269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
33	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
34	33	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
35		eluzelz 9526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. ZZ )
36	35	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> n e. ZZ )
37	32, 34, 36	3jca 1177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) )
38		eluzle 9529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ n )
39	38	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ n )
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> n <_ (♯ ` A ) )
41	39, 40	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ n /\ n <_ (♯ ` A ) ) )
42		elfz2 10002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( 1 <_ n /\ n <_ (♯ ` A ) ) ) )
43	37, 41, 42	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
44	31, 43	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) e. CC )
45		0cnd 7941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
46	22	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> n e. ZZ )
47	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
48	47	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
49		zdcle 9318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID n <_ (♯ ` A ) )
50	46, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID n <_ (♯ ` A ) )
51	44, 45, 50	ifcldadc 3563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) e. CC )
52	16, 19, 22, 51	fvmptd3 5605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
53	52, 51	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) e. CC )
54		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
55		fveq2 5511	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) )
56	17, 55	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
57		fsumadd.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
58	57	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
59	58	fmpttd 5667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
61	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
62		fco 5377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. A |-> C ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
63	60, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
64	63, 43	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) e. CC )
65	64, 45, 50	ifcldadc 3563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) e. CC )
66	54, 56, 22, 65	fvmptd3 5605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
67	66, 65	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) e. CC )
68		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
69	28	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( f ` n ) e. A )
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
71	23, 57	addcld 7967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. CC )
72		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. A |-> ( B + C ) ) = ( k e. A |-> ( B + C ) )
73	72	fvmpt2 5595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. A /\ ( B + C ) e. CC ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( B + C ) )
74	70, 71, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( B + C ) )
75		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
76	75	fvmpt2 5595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. A /\ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = B )
77	70, 23, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = B )
78		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
79	78	fvmpt2 5595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. A /\ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = C )
80	70, 57, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = C )
81	77, 80	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) = ( B + C ) )
82	74, 81	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
83	82	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
84	83	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
85		nffvmpt1 5522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) )
86		nffvmpt1 5522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) )
87		nfcv 2319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k +
88		nffvmpt1 5522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) )
89	86, 87, 88	nfov 5899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
90	85, 89	nfeq 2327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
91		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
92		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
93		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
94	92, 93	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
95	91, 94	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) <-> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) ) )
96	90, 95	rspc 2835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` n ) e. A -> ( A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) + ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) ) )
97	69, 84, 96	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
98		fvco3 5583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
99	28, 98	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
100		fvco3 5583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
101	28, 100	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
102		fvco3 5583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
103	28, 102	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
104	101, 103	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) + ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
105	97, 99, 104	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) )
106	68, 43, 105	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) )
107	40	iftrued 3541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) )
108	40	iftrued 3541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) )
109	40	iftrued 3541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) )
110	108, 109	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) + ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) )
111	106, 107, 110	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
112	1	eqcomi 2181	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = ( 0 + 0 )
113		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> -. n <_ (♯ ` A ) )
114	113	iffalsed 3544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = 0 )
115	113	iffalsed 3544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = 0 )
116	113	iffalsed 3544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) = 0 )
117	115, 116	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
118	112, 114, 117	3eqtr4a 2236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. n <_ (♯ ` A ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
119		exmiddc 836	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID n <_ (♯ ` A ) -> ( n <_ (♯ ` A ) \/ -. n <_ (♯ ` A ) ) )
120	50, 119	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( n <_ (♯ ` A ) \/ -. n <_ (♯ ` A ) ) )
121	111, 118, 120	mpjaodan 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
122		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
123		fveq2 5511	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) = ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) )
124	17, 123	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
125	71	fmpttd 5667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC )
126	125	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC )
127		fco 5377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
128	126, 61, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
129	128, 43	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ n <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) e. CC )
130	129, 45, 50	ifcldadc 3563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) e. CC )
131	122, 124, 22, 130	fvmptd3 5605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
132	52, 66	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) + ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) ) = ( if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) + if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) )
133	121, 131, 132	3eqtr4d 2220	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) = ( ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) + ( ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ` n ) ) )
134	15, 53, 67, 133	ser3add 10491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) + ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
135		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` ( f ` n ) ) )
136	24, 58	addcld 7967	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. CC )
137	136	fmpttd 5667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( B + C ) ) : A --> CC )
138	137	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) e. CC )
139	135, 13, 26, 138, 99	fsum3 11379	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
140		breq1 4003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> j <_ (♯ ` A ) ) )
141		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) )
142	140, 141	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
143	142	cbvmptv 4096	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
144		seqeq3 10436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) )
145	143, 144	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) )
146	145	fveq1i 5512	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) )
147	139, 146	eqtrdi 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
148		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
149	25	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
150	148, 13, 26, 149, 101	fsum3 11379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
151		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) )
152	140, 151	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
153	152	cbvmptv 4096	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
154		seqeq3 10436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) )
155	153, 154	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) )
156	155	fveq1i 5512	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) )
157	150, 156	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
158		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
159	59	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
160	158, 13, 26, 159, 103	fsum3 11379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
161		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) )
162	140, 161	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
163	162	cbvmptv 4096	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) )
164		seqeq3 10436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) )
165	163, 164	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) )
166	165	fveq1i 5512	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) )
167	160, 166	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
168	157, 167	oveq12d 5887	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) + ( seq 1 ( + , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` j ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
169	134, 147, 168	3eqtr4d 2220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) )
170	71	ralrimiva 2550	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( B + C ) e. CC )
171		sumfct 11366	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A ( B + C ) e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( B + C ) )
172	170, 171	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( B + C ) )
173	172	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B + C ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( B + C ) )
174	23	ralrimiva 2550	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
175		sumfct 11366	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
176	174, 175	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
177	57	ralrimiva 2550	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
178		sumfct 11366	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
179	177, 178	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
180	176, 179	oveq12d 5887	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
181	180	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) + sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
182	169, 173, 181	3eqtr3d 2218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )
183	182	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
184	183	exlimdv 1819	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
185	184	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) ) )
186		fsumadd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
187		fz1f1o 11367	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
188	186, 187	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
189	12, 185, 188	mpjaod 718	1 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B + C ) = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. A C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   (/)c0 3422   ifcif 3534   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   o. ccom 4627   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Fincfn 6734   CCcc 7800   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   <_ cle 7983   NNcn 8908   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995   seqcseq 10431  ♯chash 10739   sum_csu 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11399  fsumsub  11444  binomlem  11475  pcbc  12332