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Theorem fsumadd 10800
Description: The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumadd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumadd.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumadd.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumadd  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumadd
Dummy variables  f  j  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 00id 7623 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 sum0 10780 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
3 sum0 10780 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
42, 3oveq12i 5664 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C )  =  ( 0  +  0 )
5 sum0 10780 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C )  =  0
61, 4, 53eqtr4ri 2119 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C )
7 sumeq1 10744 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C ) )
8 sumeq1 10744 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
9 sumeq1 10744 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
108, 9oveq12d 5670 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C )  =  (
sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C ) )
116, 7, 103eqtr4a 2146 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
1211a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
13 simprl 498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
14 nnuz 9054 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1513, 14syl6eleq 2180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
16 elnnuz 9055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1716biimpri 131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  n  e.  NN )
1817adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  n  e.  NN )
19 fsumadd.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2019adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2120fmpttd 5453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
22 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
23 f1of 5253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
25 fco 5176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> CC )
2621, 24, 25syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
2726ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
28 1zzd 8777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
2913ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
3029nnzd 8867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  ZZ )
31 eluzelz 9028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  n  e.  ZZ )
3231ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  ->  n  e.  ZZ )
3328, 30, 323jca 1123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )
34 eluzle 9031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  n )
3534ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
1  <_  n )
36 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  ->  n  <_  ( `  A )
)
3735, 36jca 300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  <_  n  /\  n  <_  ( `  A
) ) )
38 elfz2 9431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  <->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  n  /\  n  <_  ( `  A ) ) ) )
3933, 37, 38sylanbrc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
4027, 39ffvelrnd 5435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
41 0cnd 7481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  n  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
4218nnzd 8867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  n  e.  ZZ )
4313adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  NN )
4443nnzd 8867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
45 zdcle 8823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  n  <_  ( `  A
) )
4642, 44, 45syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  n  <_  ( `  A
) )
4740, 41, 46ifcldadc 3420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  e.  CC )
48 breq1 3848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  n  ->  (
j  <_  ( `  A
)  <->  n  <_  ( `  A
) ) )
49 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  n  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  j
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n )
)
5048, 49ifbieq1d 3413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  j
) ,  0 )  =  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
51 eqid 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) )
5250, 51fvmptg 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) ) `  n )  =  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) )
5318, 47, 52syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) `  n )  =  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
5453, 47eqeltrd 2164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) `  n )  e.  CC )
55 fsumadd.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5655adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5756fmpttd 5453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
5857ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
5924ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
60 fco 5176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> CC )
6158, 59, 60syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
6261, 39ffvelrnd 5435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
6362, 41, 46ifcldadc 3420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  e.  CC )
64 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  n  ->  (
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  j
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n )
)
6548, 64ifbieq1d 3413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  j
) ,  0 )  =  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
66 eqid 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) )
6765, 66fvmptg 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) ) `  n )  =  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) )
6818, 63, 67syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) `  n )  =  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
6968, 63eqeltrd 2164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) `  n )  e.  CC )
70 simpll 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
7124ffvelrnda 5434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  A
)
72 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
7319, 55addcld 7507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  CC )
74 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )
7574fvmpt2 5386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( B  +  C
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `
 k )  =  ( B  +  C
) )
7672, 73, 75syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( B  +  C ) )
77 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
7877fvmpt2 5386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
7972, 19, 78syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
80 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
8180fvmpt2 5386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
8272, 55, 81syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
8379, 82oveq12d 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( B  +  C ) )
8476, 83eqtr4d 2123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ) )
8584ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
8685ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
87 nffvmpt1 5316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) )
88 nffvmpt1 5316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
89 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k  +
90 nffvmpt1 5316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )
9188, 89, 90nfov 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
9287, 91nfeq 2236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
93 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
94 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
95 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
9694, 95oveq12d 5670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
9793, 96eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) ) ) )
9892, 97rspc 2716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
)  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) ) ) )
9971, 86, 98sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) ) )
100 fvco3 5375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  (
f `  n )
) )
10124, 100sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) ) )
102 fvco3 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
10324, 102sylan 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) ) )
104 fvco3 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
10524, 104sylan 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
106103, 105oveq12d 5670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n )  +  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) ) )
10799, 101, 1063eqtr4d 2130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  +  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) ) )
10870, 39, 107syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  +  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ) )
10936iftrued 3400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  ->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `
 n ) )
11036iftrued 3400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  ->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) )
11136iftrued 3400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  ->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 n ) )
112110, 111oveq12d 5670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 )  +  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n )  +  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 n ) ) )
113108, 109, 1123eqtr4d 2130 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  ->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 )  =  ( if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  +  if ( n  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) ,  0 ) ) )
1141eqcomi 2092 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =  ( 0  +  0 )
115 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  n  <_  ( `  A )
)  ->  -.  n  <_  ( `  A )
)
116115iffalsed 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  n  <_  ( `  A )
)  ->  if (
n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  0 )
117115iffalsed 3403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  n  <_  ( `  A )
)  ->  if (
n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  0 )
118115iffalsed 3403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  n  <_  ( `  A )
)  ->  if (
n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  0 )
119117, 118oveq12d 5670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  n  <_  ( `  A )
)  ->  ( if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  +  if ( n  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
120114, 116, 1193eqtr4a 2146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  n  <_  ( `  A )
)  ->  if (
n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  ( if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 )  +  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) ) )
121 exmiddc 782 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  n  <_ 
( `  A )  -> 
( n  <_  ( `  A )  \/  -.  n  <_  ( `  A )
) )
12246, 121syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( n  <_  ( `  A )  \/  -.  n  <_  ( `  A ) ) )
123113, 120, 122mpjaodan 747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  ( if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 )  +  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) ) )
12473fmpttd 5453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) : A --> CC )
125124ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) : A --> CC )
126 fco 5176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> CC )
127125, 59, 126syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
128127, 39ffvelrnd 5435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  n  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
129128, 41, 46ifcldadc 3420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  e.  CC )
130 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  n  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  j
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) `  n )
)
13148, 130ifbieq1d 3413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  j
) ,  0 )  =  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
132 eqid 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) )
133131, 132fvmptg 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) ) `  n )  =  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) )
13418, 129, 133syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) `  n )  =  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
13553, 68oveq12d 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) `  n )  +  ( ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) ) `
 n ) )  =  ( if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  +  if ( n  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) ,  0 ) ) )
136123, 134, 1353eqtr4d 2130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) `  n )  =  ( ( ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) `  n )  +  ( ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) ) `
 n ) ) )
13715, 54, 69, 136iseradd 9934 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  ( `  A ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  A
) )  +  (  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  ( `  A ) ) ) )
138 fveq2 5305 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
13920, 56addcld 7507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  CC )
140139fmpttd 5453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) : A --> CC )
141140ffvelrnda 5434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  m
)  e.  CC )
142138, 13, 22, 141, 101fisum 10778 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  A
) ) )
143 breq1 3848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  j  <_  ( `  A ) ) )
144 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) `  j )
)
145143, 144ifbieq1d 3413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  if ( j  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  j ) ,  0 ) )
146145cbvmptv 3934 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) )
147 iseqeq3 9860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) ,  CC ) )
148146, 147ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) ) ,  CC )
149148fveq1i 5306 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  A
) )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  ( `  A ) )
150142, 149syl6eq 2136 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  A
) ) )
151 fveq2 5305 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
15221ffvelrnda 5434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
153151, 13, 22, 152, 103fisum 10778 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  A
) ) )
154 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  j )
)
155143, 154ifbieq1d 3413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  if ( j  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  j ) ,  0 ) )
156155cbvmptv 3934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) )
157 iseqeq3 9860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) ,  CC ) )
158156, 157ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) ) ,  CC )
159158fveq1i 5306 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  A
) )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  ( `  A ) )
160153, 159syl6eq 2136 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  A
) ) )
161 fveq2 5305 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
16257ffvelrnda 5434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
163161, 13, 22, 162, 105fisum 10778 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  A
) ) )
164 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  j )
)
165143, 164ifbieq1d 3413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  if ( j  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  j ) ,  0 ) )
166165cbvmptv 3934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) )
167 iseqeq3 9860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) ,  CC ) )
168166, 167ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) ) ,  CC )
169168fveq1i 5306 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  A
) )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  ( `  A ) )
170163, 169syl6eq 2136 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  j
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  A
) ) )
171160, 170oveq12d 5670 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  +  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 j ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  ( `  A ) )  +  (  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  j ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  ( `  A ) ) ) )
172137, 150, 1713eqtr4d 2130 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  m
)  =  ( sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  +  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ) )
17373ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( B  +  C
)  e.  CC )
174 sumfct 10763 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  ( B  +  C )  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
) )
175173, 174syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )
)
176175adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  ( B  +  C ) )
17719ralrimiva 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
178 sumfct 10763 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
179177, 178syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
18055ralrimiva 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
181 sumfct 10763 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  C )
182180, 181syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
)
183179, 182oveq12d 5670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  +  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
184183adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  +  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
185172, 176, 1843eqtr3d 2128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C
) )
186185expr 367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C
) ) )
187186exlimdv 1747 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
188187expimpd 355 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
189 fsumadd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
190 fz1f1o 10764 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
191189, 190syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
19212, 188, 191mpjaod 673 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   (/)c0 3286   ifcif 3393   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899    o. ccom 4442   -->wf 5011   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Fincfn 6457   CCcc 7348   0cc0 7350   1c1 7351    + caddc 7353    <_ cle 7523   NNcn 8422   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424    seqcseq4 9851  ♯chash 10183   sum_csu 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
This theorem is referenced by:  fsumsplit  10801  fsumsub  10846  binomlem  10877
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