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Theorem fsummulc2 11168
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsummulc2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsummulc2
Dummy variables  f  m  n  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21mul01d 8119 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3 sumeq1 11075 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
4 sum0 11108 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
53, 4syl6eq 2164 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  = 
0 )
65oveq2d 5756 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  ( C  x.  0 ) )
7 sumeq1 11075 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B ) )
8 sum0 11108 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B )  =  0
97, 8syl6eq 2164 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  0 )
106, 9eqeq12d 2130 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
)  <->  ( C  x.  0 )  =  0 ) )
112, 10syl5ibrcom 156 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
12 addcl 7709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  +  v )  e.  CC )
1312adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( u  +  v )  e.  CC )
141ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  C  e.  CC )
15 simprl 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
16 simprr 504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
v  e.  CC )
1714, 15, 16adddid 7754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( C  x.  (
u  +  v ) )  =  ( ( C  x.  u )  +  ( C  x.  v ) ) )
18 simprl 503 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
19 nnuz 9313 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2018, 19syl6eleq 2208 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
21 elnnuz 9314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  NN  <->  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2221biimpri 132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  NN )
2322adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  u  e.  NN )
24 f1of 5333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2524ad2antll 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2625ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
27 1zzd 9035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
2818ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
2928nnzd 9126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  ZZ )
30 eluzelz 9287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  ZZ )
3130ad2antlr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  u  e.  ZZ )
3227, 29, 313jca 1144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  u  e.  ZZ ) )
33 eluzle 9290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  u )
3433ad2antlr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
1  <_  u )
35 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  u  <_  ( `  A )
)
3634, 35jca 302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  <_  u  /\  u  <_  ( `  A
) ) )
37 elfz2 9748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  <->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  u  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  u  /\  u  <_  ( `  A ) ) ) )
3832, 36, 37sylanbrc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
39 fvco3 5458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  u )
) )
4026, 38, 39syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  u )
) )
4126, 38ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( f `  u
)  e.  A )
42 fsummulc2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4342ralrimiva 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
4443ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
45 nfcsb1v 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B
4645nfel1 2267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k
[_ ( f `  u )  /  k ]_ B  e.  CC
47 csbeq1a 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  u )  ->  B  =  [_ ( f `  u )  /  k ]_ B )
4847eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  u )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
4946, 48rspc 2755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  u )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
5041, 44, 49sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B  e.  CC )
51 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
5251fvmpts 5465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  u
)  e.  A  /\  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  u
) )  =  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B )
5341, 50, 52syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  u
) )  =  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B )
5453, 50eqeltrd 2192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  u
) )  e.  CC )
5540, 54eqeltrd 2192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u )  e.  CC )
56 0cnd 7723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
5723nnzd 9126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  u  e.  ZZ )
5818adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  NN )
5958nnzd 9126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
60 zdcle 9081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  u  <_  ( `  A
) )
6157, 59, 60syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  u  <_  ( `  A
) )
6255, 56, 61ifcldadc 3469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  e.  CC )
63 breq1 3900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  u  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  u  <_  ( `  A
) ) )
64 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  u  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u )
)
6563, 64ifbieq1d 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  u  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  if ( u  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u ) ,  0 ) )
66 eqid 2115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
6765, 66fvmptg 5463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  NN  /\  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 ) )
6823, 62, 67syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 u ) ,  0 ) )
6968, 62eqeltrd 2192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  e.  CC )
70 csbov2g 5778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  u )  e.  A  ->  [_ (
f `  u )  /  k ]_ ( C  x.  B )  =  ( C  x.  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B ) )
7141, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
)  =  ( C  x.  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ B ) )
7235iftrued 3449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 u ) )
73 fvco3 5458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  u )
) )
7426, 38, 73syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  u )
) )
751ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  C  e.  CC )
7675, 50mulcld 7750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( C  x.  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B )  e.  CC )
7771, 76eqeltrd 2192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
)  e.  CC )
78 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )
7978fvmpts 5465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  u
)  e.  A  /\  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 ( f `  u ) )  = 
[_ ( f `  u )  /  k ]_ ( C  x.  B
) )
8041, 77, 79syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  u
) )  =  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
) )
8172, 74, 803eqtrd 2152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ ( C  x.  B ) )
8235iftrued 3449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 u ) )
8382, 40, 533eqtrd 2152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ B )
8483oveq2d 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) )  =  ( C  x.  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B ) )
8571, 81, 843eqtr4d 2158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 ) ) )
861ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  C  e.  CC )
8786mul01d 8119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
88 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  -.  u  <_  ( `  A )
)
8988iffalsed 3452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  0 )
9089oveq2d 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  ( C  x.  if ( u  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u ) ,  0 ) )  =  ( C  x.  0 ) )
9188iffalsed 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  0 )
9287, 90, 913eqtr4rd 2159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) ) )
93 exmiddc 804 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  u  <_ 
( `  A )  -> 
( u  <_  ( `  A )  \/  -.  u  <_  ( `  A )
) )
9461, 93syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( u  <_  ( `  A )  \/  -.  u  <_  ( `  A ) ) )
9585, 92, 94mpjaodan 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) ) )
9680, 77eqeltrd 2192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  u
) )  e.  CC )
9774, 96eqeltrd 2192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u )  e.  CC )
9897, 56, 61ifcldadc 3469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  e.  CC )
99 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  u  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u )
)
10063, 99ifbieq1d 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  u  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  if ( u  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u ) ,  0 ) )
101 eqid 2115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
102100, 101fvmptg 5463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  NN  /\  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 ) )
10323, 98, 102syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 u ) ,  0 ) )
10468oveq2d 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( C  x.  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u ) )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) ) )
10595, 103, 1043eqtr4d 2158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  =  ( C  x.  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u ) ) )
106 mulcl 7711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  x.  v
)  e.  CC )
107106adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( u  x.  v
)  e.  CC )
1081adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  C  e.  CC )
10913, 17, 20, 69, 105, 107, 108seq3distr 10237 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) ) `
 ( `  A
) )  =  ( C  x.  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) ) )
110 fveq2 5387 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) ) )
111 simprr 504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
1121adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
113112, 42mulcld 7750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
114113fmpttd 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
115114adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
116115ffvelrnda 5521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  e.  CC )
117 fvco3 5458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  n )
) )
11825, 117sylan 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) ) )
119110, 18, 111, 116, 118fsum3 11107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
120 fveq2 5387 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
12142fmpttd 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
122121adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
123122ffvelrnda 5521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
124 fvco3 5458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
12525, 124sylan 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) ) )
126120, 18, 111, 123, 125fsum3 11107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
127126oveq2d 5756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) ) )
128109, 119, 1273eqtr4rd 2159 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m ) )
129 sumfct 11094 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
13043, 129syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
131130oveq2d 5756 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B ) )
132131adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B ) )
133113ralrimiva 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( C  x.  B
)  e.  CC )
134 sumfct 11094 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  ( C  x.  B )  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
) )
135133, 134syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
)
136135adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
137128, 132, 1363eqtr3d 2156 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
138137expr 370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A  -> 
( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
139138exlimdv 1773 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
) )
140139expimpd 358 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
) ) )
141 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
142 fz1f1o 11095 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
143141, 142syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
14411, 140, 143mpjaod 690 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2391   [_csb 2973   (/)c0 3331   ifcif 3442   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957    o. ccom 4511   -->wf 5087   -1-1-onto->wf1o 5090   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   Fincfn 6600   CCcc 7582   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    x. cmul 7589    <_ cle 7765   NNcn 8680   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278   ...cfz 9741    seqcseq 10169  ♯chash 10472   sum_csu 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074
This theorem is referenced by:  fsummulc1  11169  fsumneg  11171  fsum2mul  11173  cvgratnnlemabsle  11247  mertensabs  11257  eirraplem  11390
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