Theorem fsummulc2 11959

Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsummulc2.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsummulc2.2	|- ( ph -> C e. CC )
fsummulc2.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsummulc2	|- ( ph -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsummulc2

Dummy variables f m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsummulc2.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
2	1	mul01d 8539	. . 3 |- ( ph -> ( C x. 0 ) = 0 )
3		sumeq1 11866	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
4		sum0 11899	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) B = 0
5	3, 4	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = 0 )
6	5	oveq2d 6017	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = ( C x. 0 ) )
7		sumeq1 11866	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( C x. B ) = sum_ k e. (/) ( C x. B ) )
8		sum0 11899	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) ( C x. B ) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( C x. B ) = 0 )
10	6, 9	eqeq12d 2244	. . 3 |- ( A = (/) -> ( ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) <-> ( C x. 0 ) = 0 ) )
11	2, 10	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
12		addcl 8124	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u + v ) e. CC )
13	12	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u + v ) e. CC )
14	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> C e. CC )
15		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
16		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
17	14, 15, 16	adddid 8171	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( C x. ( u + v ) ) = ( ( C x. u ) + ( C x. v ) ) )
18		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
19		nnuz 9758	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
20	18, 19	eleqtrdi 2322	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
21		elnnuz 9759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	21	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. NN )
24		f1of 5572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
25	24	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
27		1zzd 9473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
28	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
29	28	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
30		eluzelz 9731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. ZZ )
31	30	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u e. ZZ )
32	27, 29, 31	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ u e. ZZ ) )
33		eluzle 9734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ u )
34	33	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ u )
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u <_ (♯ ` A ) )
36	34, 35	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ u /\ u <_ (♯ ` A ) ) )
37		elfz2 10211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ u e. ZZ ) /\ ( 1 <_ u /\ u <_ (♯ ` A ) ) ) )
38	32, 36, 37	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
39		fvco3 5705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) )
40	26, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) )
41	26, 38	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( f ` u ) e. A )
42		fsummulc2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
43	42	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
44	43	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
45		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k [_ ( f ` u ) / k ]_ B
46	45	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC
47		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` u ) -> B = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
48	47	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` u ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) )
49	46, 48	rspc 2901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` u ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) )
50	41, 44, 49	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC )
51		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
52	51	fvmpts 5712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` u ) e. A /\ [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
53	41, 50, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
54	53, 50	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) e. CC )
55	40, 54	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) e. CC )
56		0cnd 8139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
57	23	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
58	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
59	58	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
60		zdcle 9523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID u <_ (♯ ` A ) )
61	57, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u <_ (♯ ` A ) )
62	55, 56, 61	ifcldadc 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC )
63		breq1 4086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> u <_ (♯ ` A ) ) )
64		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) )
65	63, 64	ifbieq1d 3625	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = u -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
66		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
67	65, 66	fvmptg 5710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. NN /\ if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
68	23, 62, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
69	68, 62	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) e. CC )
70		csbov2g 6043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` u ) e. A -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
71	41, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
72	35	iftrued 3609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) )
73		fvco3 5705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) )
74	26, 38, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) )
75	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> C e. CC )
76	75, 50	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) e. CC )
77	71, 76	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) e. CC )
78		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. A |-> ( C x. B ) ) = ( k e. A |-> ( C x. B ) )
79	78	fvmpts 5712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` u ) e. A /\ [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) e. CC ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
80	41, 77, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
81	72, 74, 80	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
82	35	iftrued 3609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) )
83	82, 40, 53	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
84	83	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
85	71, 81, 84	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
86	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> C e. CC )
87	86	mul01d 8539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. 0 ) = 0 )
88		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> -. u <_ (♯ ` A ) )
89	88	iffalsed 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = 0 )
90	89	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) = ( C x. 0 ) )
91	88	iffalsed 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = 0 )
92	87, 90, 91	3eqtr4rd 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
93		exmiddc 841	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID u <_ (♯ ` A ) -> ( u <_ (♯ ` A ) \/ -. u <_ (♯ ` A ) ) )
94	61, 93	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( u <_ (♯ ` A ) \/ -. u <_ (♯ ` A ) ) )
95	85, 92, 94	mpjaodan 803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
96	80, 77	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) e. CC )
97	74, 96	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) e. CC )
98	97, 56, 61	ifcldadc 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC )
99		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) )
100	63, 99	ifbieq1d 3625	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = u -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
101		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
102	100, 101	fvmptg 5710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. NN /\ if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
103	23, 98, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
104	68	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( C x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
105	95, 103, 104	3eqtr4d 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = ( C x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) ) )
106		mulcl 8126	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
107	106	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u x. v ) e. CC )
108	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> C e. CC )
109	13, 17, 20, 69, 105, 107, 108	seq3distr 10754	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( C x. ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
110		fveq2 5627	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
111		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
112	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
113	112, 42	mulcld 8167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C x. B ) e. CC )
114	113	fmpttd 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( C x. B ) ) : A --> CC )
115	114	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( C x. B ) ) : A --> CC )
116	115	ffvelcdmda 5770	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) e. CC )
117		fvco3 5705	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
118	25, 117	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
119	110, 18, 111, 116, 118	fsum3 11898	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
120		fveq2 5627	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
121	42	fmpttd 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
122	121	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
123	122	ffvelcdmda 5770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
124		fvco3 5705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
125	25, 124	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
126	120, 18, 111, 123, 125	fsum3 11898	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
127	126	oveq2d 6017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
128	109, 119, 127	3eqtr4rd 2273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) )
129		sumfct 11885	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
130	43, 129	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
131	130	oveq2d 6017	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. sum_ k e. A B ) )
132	131	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. sum_ k e. A B ) )
133	113	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( C x. B ) e. CC )
134		sumfct 11885	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A ( C x. B ) e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
135	133, 134	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
136	135	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
137	128, 132, 136	3eqtr3d 2270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
138	137	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
139	138	exlimdv 1865	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
140	139	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
141		fsummulc2.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
142		fz1f1o 11886	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
143	141, 142	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
144	11, 140, 143	mpjaod 723	1 |- ( ph -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   [_csb 3124   (/)c0 3491   ifcif 3602   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   o. ccom 4723   -->wf 5314   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   CCcc 7997   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   <_ cle 8182   NNcn 9110   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204   seqcseq 10669  ♯chash 10997   sum_csu 11864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865

This theorem is referenced by:  fsummulc1  11960  fsumneg  11962  fsum2mul  11964  cvgratnnlemabsle  12038  mertensabs  12048  eirraplem  12288  fsumdvdsmul  15665