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Theorem fsummulc2 11440
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsummulc2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsummulc2
Dummy variables  f  m  n  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21mul01d 8340 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3 sumeq1 11347 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
4 sum0 11380 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
53, 4eqtrdi 2226 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  = 
0 )
65oveq2d 5885 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  ( C  x.  0 ) )
7 sumeq1 11347 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B ) )
8 sum0 11380 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B )  =  0
97, 8eqtrdi 2226 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  0 )
106, 9eqeq12d 2192 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
)  <->  ( C  x.  0 )  =  0 ) )
112, 10syl5ibrcom 157 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
12 addcl 7927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  +  v )  e.  CC )
1312adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( u  +  v )  e.  CC )
141ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  C  e.  CC )
15 simprl 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
16 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
v  e.  CC )
1714, 15, 16adddid 7972 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( C  x.  (
u  +  v ) )  =  ( ( C  x.  u )  +  ( C  x.  v ) ) )
18 simprl 529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
19 nnuz 9552 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2018, 19eleqtrdi 2270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
21 elnnuz 9553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  NN  <->  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2221biimpri 133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  NN )
2322adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  u  e.  NN )
24 f1of 5457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2524ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2625ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
27 1zzd 9269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
2818ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
2928nnzd 9363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  ZZ )
30 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  ZZ )
3130ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  u  e.  ZZ )
3227, 29, 313jca 1177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  u  e.  ZZ ) )
33 eluzle 9529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  u )
3433ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
1  <_  u )
35 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  u  <_  ( `  A )
)
3634, 35jca 306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  <_  u  /\  u  <_  ( `  A
) ) )
37 elfz2 10002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  <->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  u  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  u  /\  u  <_  ( `  A ) ) ) )
3832, 36, 37sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
39 fvco3 5583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  u )
) )
4026, 38, 39syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  u )
) )
4126, 38ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( f `  u
)  e.  A )
42 fsummulc2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4342ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
4443ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
45 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B
4645nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k
[_ ( f `  u )  /  k ]_ B  e.  CC
47 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  u )  ->  B  =  [_ ( f `  u )  /  k ]_ B )
4847eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  u )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
4946, 48rspc 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  u )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
5041, 44, 49sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B  e.  CC )
51 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
5251fvmpts 5590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  u
)  e.  A  /\  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  u
) )  =  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B )
5341, 50, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  u
) )  =  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B )
5453, 50eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  u
) )  e.  CC )
5540, 54eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u )  e.  CC )
56 0cnd 7941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
5723nnzd 9363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  u  e.  ZZ )
5818adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  NN )
5958nnzd 9363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
60 zdcle 9318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  u  <_  ( `  A
) )
6157, 59, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  u  <_  ( `  A
) )
6255, 56, 61ifcldadc 3563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  e.  CC )
63 breq1 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  u  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  u  <_  ( `  A
) ) )
64 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  u  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u )
)
6563, 64ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  u  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  if ( u  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u ) ,  0 ) )
66 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
6765, 66fvmptg 5588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  NN  /\  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 ) )
6823, 62, 67syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 u ) ,  0 ) )
6968, 62eqeltrd 2254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  e.  CC )
70 csbov2g 5910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  u )  e.  A  ->  [_ (
f `  u )  /  k ]_ ( C  x.  B )  =  ( C  x.  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B ) )
7141, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
)  =  ( C  x.  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ B ) )
7235iftrued 3541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 u ) )
73 fvco3 5583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  u )
) )
7426, 38, 73syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  u )
) )
751ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  C  e.  CC )
7675, 50mulcld 7968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( C  x.  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B )  e.  CC )
7771, 76eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
)  e.  CC )
78 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )
7978fvmpts 5590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  u
)  e.  A  /\  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 ( f `  u ) )  = 
[_ ( f `  u )  /  k ]_ ( C  x.  B
) )
8041, 77, 79syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  u
) )  =  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
) )
8172, 74, 803eqtrd 2214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ ( C  x.  B ) )
8235iftrued 3541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 u ) )
8382, 40, 533eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ B )
8483oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) )  =  ( C  x.  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B ) )
8571, 81, 843eqtr4d 2220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 ) ) )
861ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  C  e.  CC )
8786mul01d 8340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
88 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  -.  u  <_  ( `  A )
)
8988iffalsed 3544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  0 )
9089oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  ( C  x.  if ( u  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u ) ,  0 ) )  =  ( C  x.  0 ) )
9188iffalsed 3544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  0 )
9287, 90, 913eqtr4rd 2221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) ) )
93 exmiddc 836 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  u  <_ 
( `  A )  -> 
( u  <_  ( `  A )  \/  -.  u  <_  ( `  A )
) )
9461, 93syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( u  <_  ( `  A )  \/  -.  u  <_  ( `  A ) ) )
9585, 92, 94mpjaodan 798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) ) )
9680, 77eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  u
) )  e.  CC )
9774, 96eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u )  e.  CC )
9897, 56, 61ifcldadc 3563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  e.  CC )
99 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  u  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u )
)
10063, 99ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  u  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  if ( u  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u ) ,  0 ) )
101 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
102100, 101fvmptg 5588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  NN  /\  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 ) )
10323, 98, 102syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 u ) ,  0 ) )
10468oveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( C  x.  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u ) )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) ) )
10595, 103, 1043eqtr4d 2220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  =  ( C  x.  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u ) ) )
106 mulcl 7929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  x.  v
)  e.  CC )
107106adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( u  x.  v
)  e.  CC )
1081adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  C  e.  CC )
10913, 17, 20, 69, 105, 107, 108seq3distr 10499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) ) `
 ( `  A
) )  =  ( C  x.  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) ) )
110 fveq2 5511 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) ) )
111 simprr 531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
1121adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
113112, 42mulcld 7968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
114113fmpttd 5667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
115114adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
116115ffvelcdmda 5647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  e.  CC )
117 fvco3 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  n )
) )
11825, 117sylan 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) ) )
119110, 18, 111, 116, 118fsum3 11379 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
120 fveq2 5511 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
12142fmpttd 5667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
122121adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
123122ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
124 fvco3 5583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
12525, 124sylan 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) ) )
126120, 18, 111, 123, 125fsum3 11379 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
127126oveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) ) )
128109, 119, 1273eqtr4rd 2221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m ) )
129 sumfct 11366 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
13043, 129syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
131130oveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B ) )
132131adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B ) )
133113ralrimiva 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( C  x.  B
)  e.  CC )
134 sumfct 11366 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  ( C  x.  B )  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
) )
135133, 134syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
)
136135adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
137128, 132, 1363eqtr3d 2218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
138137expr 375 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A  -> 
( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
139138exlimdv 1819 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
) )
140139expimpd 363 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
) ) )
141 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
142 fz1f1o 11367 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
143141, 142syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
14411, 140, 143mpjaod 718 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3057   (/)c0 3422   ifcif 3534   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061    o. ccom 4627   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Fincfn 6734   CCcc 7800   0cc0 7802   1c1 7803    + caddc 7805    x. cmul 7807    <_ cle 7983   NNcn 8908   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995    seqcseq 10431  ♯chash 10739   sum_csu 11345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346
This theorem is referenced by:  fsummulc1  11441  fsumneg  11443  fsum2mul  11445  cvgratnnlemabsle  11519  mertensabs  11529  eirraplem  11768
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