Theorem fsummulc2 11874

Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsummulc2.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsummulc2.2	|- ( ph -> C e. CC )
fsummulc2.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsummulc2	|- ( ph -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsummulc2

Dummy variables f m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsummulc2.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
2	1	mul01d 8500	. . 3 |- ( ph -> ( C x. 0 ) = 0 )
3		sumeq1 11781	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
4		sum0 11814	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) B = 0
5	3, 4	eqtrdi 2256	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = 0 )
6	5	oveq2d 5983	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = ( C x. 0 ) )
7		sumeq1 11781	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( C x. B ) = sum_ k e. (/) ( C x. B ) )
8		sum0 11814	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) ( C x. B ) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2256	. . . 4 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( C x. B ) = 0 )
10	6, 9	eqeq12d 2222	. . 3 |- ( A = (/) -> ( ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) <-> ( C x. 0 ) = 0 ) )
11	2, 10	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
12		addcl 8085	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u + v ) e. CC )
13	12	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u + v ) e. CC )
14	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> C e. CC )
15		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
16		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
17	14, 15, 16	adddid 8132	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( C x. ( u + v ) ) = ( ( C x. u ) + ( C x. v ) ) )
18		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
19		nnuz 9719	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
20	18, 19	eleqtrdi 2300	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
21		elnnuz 9720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	21	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. NN )
24		f1of 5544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
25	24	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
27		1zzd 9434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
28	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
29	28	nnzd 9529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
30		eluzelz 9692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. ZZ )
31	30	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u e. ZZ )
32	27, 29, 31	3jca 1180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ u e. ZZ ) )
33		eluzle 9695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ u )
34	33	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ u )
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u <_ (♯ ` A ) )
36	34, 35	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ u /\ u <_ (♯ ` A ) ) )
37		elfz2 10172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ u e. ZZ ) /\ ( 1 <_ u /\ u <_ (♯ ` A ) ) ) )
38	32, 36, 37	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
39		fvco3 5673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) )
40	26, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) )
41	26, 38	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( f ` u ) e. A )
42		fsummulc2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
43	42	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
44	43	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
45		nfcsb1v 3134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k [_ ( f ` u ) / k ]_ B
46	45	nfel1 2361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC
47		csbeq1a 3110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` u ) -> B = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
48	47	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` u ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) )
49	46, 48	rspc 2878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` u ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) )
50	41, 44, 49	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC )
51		eqid 2207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
52	51	fvmpts 5680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` u ) e. A /\ [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
53	41, 50, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
54	53, 50	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) e. CC )
55	40, 54	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) e. CC )
56		0cnd 8100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
57	23	nnzd 9529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
58	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
59	58	nnzd 9529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
60		zdcle 9484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID u <_ (♯ ` A ) )
61	57, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u <_ (♯ ` A ) )
62	55, 56, 61	ifcldadc 3609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC )
63		breq1 4062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> u <_ (♯ ` A ) ) )
64		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) )
65	63, 64	ifbieq1d 3602	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = u -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
66		eqid 2207	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
67	65, 66	fvmptg 5678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. NN /\ if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
68	23, 62, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
69	68, 62	eqeltrd 2284	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) e. CC )
70		csbov2g 6009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` u ) e. A -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
71	41, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
72	35	iftrued 3586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) )
73		fvco3 5673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) )
74	26, 38, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) )
75	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> C e. CC )
76	75, 50	mulcld 8128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) e. CC )
77	71, 76	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) e. CC )
78		eqid 2207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. A |-> ( C x. B ) ) = ( k e. A |-> ( C x. B ) )
79	78	fvmpts 5680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` u ) e. A /\ [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) e. CC ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
80	41, 77, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
81	72, 74, 80	3eqtrd 2244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
82	35	iftrued 3586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) )
83	82, 40, 53	3eqtrd 2244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
84	83	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
85	71, 81, 84	3eqtr4d 2250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
86	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> C e. CC )
87	86	mul01d 8500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. 0 ) = 0 )
88		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> -. u <_ (♯ ` A ) )
89	88	iffalsed 3589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = 0 )
90	89	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) = ( C x. 0 ) )
91	88	iffalsed 3589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = 0 )
92	87, 90, 91	3eqtr4rd 2251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
93		exmiddc 838	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID u <_ (♯ ` A ) -> ( u <_ (♯ ` A ) \/ -. u <_ (♯ ` A ) ) )
94	61, 93	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( u <_ (♯ ` A ) \/ -. u <_ (♯ ` A ) ) )
95	85, 92, 94	mpjaodan 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
96	80, 77	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) e. CC )
97	74, 96	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) e. CC )
98	97, 56, 61	ifcldadc 3609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC )
99		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) )
100	63, 99	ifbieq1d 3602	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = u -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
101		eqid 2207	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
102	100, 101	fvmptg 5678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. NN /\ if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
103	23, 98, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
104	68	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( C x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
105	95, 103, 104	3eqtr4d 2250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = ( C x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) ) )
106		mulcl 8087	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
107	106	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u x. v ) e. CC )
108	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> C e. CC )
109	13, 17, 20, 69, 105, 107, 108	seq3distr 10714	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( C x. ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
110		fveq2 5599	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
111		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
112	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
113	112, 42	mulcld 8128	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C x. B ) e. CC )
114	113	fmpttd 5758	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( C x. B ) ) : A --> CC )
115	114	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( C x. B ) ) : A --> CC )
116	115	ffvelcdmda 5738	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) e. CC )
117		fvco3 5673	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
118	25, 117	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
119	110, 18, 111, 116, 118	fsum3 11813	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
120		fveq2 5599	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
121	42	fmpttd 5758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
122	121	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
123	122	ffvelcdmda 5738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
124		fvco3 5673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
125	25, 124	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
126	120, 18, 111, 123, 125	fsum3 11813	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
127	126	oveq2d 5983	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
128	109, 119, 127	3eqtr4rd 2251	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) )
129		sumfct 11800	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
130	43, 129	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
131	130	oveq2d 5983	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. sum_ k e. A B ) )
132	131	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. sum_ k e. A B ) )
133	113	ralrimiva 2581	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( C x. B ) e. CC )
134		sumfct 11800	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A ( C x. B ) e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
135	133, 134	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
136	135	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
137	128, 132, 136	3eqtr3d 2248	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
138	137	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
139	138	exlimdv 1843	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
140	139	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
141		fsummulc2.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
142		fz1f1o 11801	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
143	141, 142	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
144	11, 140, 143	mpjaod 720	1 |- ( ph -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   [_csb 3101   (/)c0 3468   ifcif 3579   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   o. ccom 4697   -->wf 5286   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   CCcc 7958   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   <_ cle 8143   NNcn 9071   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165   seqcseq 10629  ♯chash 10957   sum_csu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  fsummulc1  11875  fsumneg  11877  fsum2mul  11879  cvgratnnlemabsle  11953  mertensabs  11963  eirraplem  12203  fsumdvdsmul  15578