Theorem fsummulc2 11411

Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsummulc2.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsummulc2.2	|- ( ph -> C e. CC )
fsummulc2.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsummulc2	|- ( ph -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsummulc2

Dummy variables f m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsummulc2.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
2	1	mul01d 8312	. . 3 |- ( ph -> ( C x. 0 ) = 0 )
3		sumeq1 11318	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
4		sum0 11351	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) B = 0
5	3, 4	eqtrdi 2219	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = 0 )
6	5	oveq2d 5869	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = ( C x. 0 ) )
7		sumeq1 11318	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( C x. B ) = sum_ k e. (/) ( C x. B ) )
8		sum0 11351	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) ( C x. B ) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2219	. . . 4 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( C x. B ) = 0 )
10	6, 9	eqeq12d 2185	. . 3 |- ( A = (/) -> ( ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) <-> ( C x. 0 ) = 0 ) )
11	2, 10	syl5ibrcom 156	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
12		addcl 7899	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u + v ) e. CC )
13	12	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u + v ) e. CC )
14	1	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> C e. CC )
15		simprl 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
16		simprr 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
17	14, 15, 16	adddid 7944	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( C x. ( u + v ) ) = ( ( C x. u ) + ( C x. v ) ) )
18		simprl 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
19		nnuz 9522	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
20	18, 19	eleqtrdi 2263	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
21		elnnuz 9523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	21	biimpri 132	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
23	22	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. NN )
24		f1of 5442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
25	24	ad2antll 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
26	25	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
27		1zzd 9239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
28	18	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
29	28	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
30		eluzelz 9496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. ZZ )
31	30	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u e. ZZ )
32	27, 29, 31	3jca 1172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ u e. ZZ ) )
33		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ u )
34	33	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ u )
35		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u <_ (♯ ` A ) )
36	34, 35	jca 304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ u /\ u <_ (♯ ` A ) ) )
37		elfz2 9972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ u e. ZZ ) /\ ( 1 <_ u /\ u <_ (♯ ` A ) ) ) )
38	32, 36, 37	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
39		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) )
40	26, 38, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) )
41	26, 38	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( f ` u ) e. A )
42		fsummulc2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
43	42	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
44	43	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
45		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k [_ ( f ` u ) / k ]_ B
46	45	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC
47		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` u ) -> B = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
48	47	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` u ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) )
49	46, 48	rspc 2828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` u ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) )
50	41, 44, 49	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC )
51		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
52	51	fvmpts 5574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` u ) e. A /\ [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
53	41, 50, 52	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
54	53, 50	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) e. CC )
55	40, 54	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) e. CC )
56		0cnd 7913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
57	23	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
58	18	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
59	58	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
60		zdcle 9288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID u <_ (♯ ` A ) )
61	57, 59, 60	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u <_ (♯ ` A ) )
62	55, 56, 61	ifcldadc 3555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC )
63		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> u <_ (♯ ` A ) ) )
64		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) )
65	63, 64	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = u -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
66		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
67	65, 66	fvmptg 5572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. NN /\ if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
68	23, 62, 67	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
69	68, 62	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) e. CC )
70		csbov2g 5894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` u ) e. A -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
71	41, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
72	35	iftrued 3533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) )
73		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) )
74	26, 38, 73	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) )
75	1	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> C e. CC )
76	75, 50	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) e. CC )
77	71, 76	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) e. CC )
78		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. A |-> ( C x. B ) ) = ( k e. A |-> ( C x. B ) )
79	78	fvmpts 5574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` u ) e. A /\ [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) e. CC ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
80	41, 77, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
81	72, 74, 80	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
82	35	iftrued 3533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) )
83	82, 40, 53	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
84	83	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
85	71, 81, 84	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
86	1	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> C e. CC )
87	86	mul01d 8312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. 0 ) = 0 )
88		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> -. u <_ (♯ ` A ) )
89	88	iffalsed 3536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = 0 )
90	89	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) = ( C x. 0 ) )
91	88	iffalsed 3536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = 0 )
92	87, 90, 91	3eqtr4rd 2214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
93		exmiddc 831	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID u <_ (♯ ` A ) -> ( u <_ (♯ ` A ) \/ -. u <_ (♯ ` A ) ) )
94	61, 93	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( u <_ (♯ ` A ) \/ -. u <_ (♯ ` A ) ) )
95	85, 92, 94	mpjaodan 793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
96	80, 77	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) e. CC )
97	74, 96	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) e. CC )
98	97, 56, 61	ifcldadc 3555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC )
99		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) )
100	63, 99	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = u -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
101		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
102	100, 101	fvmptg 5572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. NN /\ if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
103	23, 98, 102	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
104	68	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( C x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
105	95, 103, 104	3eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = ( C x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) ) )
106		mulcl 7901	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
107	106	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u x. v ) e. CC )
108	1	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> C e. CC )
109	13, 17, 20, 69, 105, 107, 108	seq3distr 10469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( C x. ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
110		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
111		simprr 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
112	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
113	112, 42	mulcld 7940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C x. B ) e. CC )
114	113	fmpttd 5651	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( C x. B ) ) : A --> CC )
115	114	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( C x. B ) ) : A --> CC )
116	115	ffvelrnda 5631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) e. CC )
117		fvco3 5567	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
118	25, 117	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
119	110, 18, 111, 116, 118	fsum3 11350	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
120		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
121	42	fmpttd 5651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
122	121	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
123	122	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
124		fvco3 5567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
125	25, 124	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
126	120, 18, 111, 123, 125	fsum3 11350	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
127	126	oveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
128	109, 119, 127	3eqtr4rd 2214	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) )
129		sumfct 11337	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
130	43, 129	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
131	130	oveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. sum_ k e. A B ) )
132	131	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. sum_ k e. A B ) )
133	113	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( C x. B ) e. CC )
134		sumfct 11337	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A ( C x. B ) e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
135	133, 134	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
136	135	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
137	128, 132, 136	3eqtr3d 2211	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
138	137	expr 373	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
139	138	exlimdv 1812	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
140	139	expimpd 361	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
141		fsummulc2.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
142		fz1f1o 11338	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
143	141, 142	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
144	11, 140, 143	mpjaod 713	1 |- ( ph -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   [_csb 3049   (/)c0 3414   ifcif 3526   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   o. ccom 4615   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   <_ cle 7955   NNcn 8878   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965   seqcseq 10401  ♯chash 10709   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  fsummulc1  11412  fsumneg  11414  fsum2mul  11416  cvgratnnlemabsle  11490  mertensabs  11500  eirraplem  11739