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Theorem fsummulc2 10838
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsummulc2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsummulc2
Dummy variables  f  m  n  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21mul01d 7869 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3 sumeq1 10740 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
4 sum0 10776 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
53, 4syl6eq 2136 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  = 
0 )
65oveq2d 5668 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  ( C  x.  0 ) )
7 sumeq1 10740 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B ) )
8 sum0 10776 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B )  =  0
97, 8syl6eq 2136 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  0 )
106, 9eqeq12d 2102 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
)  <->  ( C  x.  0 )  =  0 ) )
112, 10syl5ibrcom 155 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
12 addcl 7465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  +  v )  e.  CC )
1312adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( u  +  v )  e.  CC )
141ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  C  e.  CC )
15 simprl 498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
16 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
v  e.  CC )
1714, 15, 16adddid 7510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( C  x.  (
u  +  v ) )  =  ( ( C  x.  u )  +  ( C  x.  v ) ) )
18 simprl 498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
19 nnuz 9052 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2018, 19syl6eleq 2180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
21 elnnuz 9053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  NN  <->  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2221biimpri 131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  NN )
2322adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  u  e.  NN )
24 f1of 5253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2524ad2antll 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2625ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
27 1zzd 8775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
2818ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
2928nnzd 8865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  ZZ )
30 eluzelz 9026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  ZZ )
3130ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  u  e.  ZZ )
3227, 29, 313jca 1123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  u  e.  ZZ ) )
33 eluzle 9029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  u )
3433ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
1  <_  u )
35 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  u  <_  ( `  A )
)
3634, 35jca 300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  <_  u  /\  u  <_  ( `  A
) ) )
37 elfz2 9429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  <->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  u  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  u  /\  u  <_  ( `  A ) ) ) )
3832, 36, 37sylanbrc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
39 fvco3 5375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  u )
) )
4026, 38, 39syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  u )
) )
4126, 38ffvelrnd 5435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( f `  u
)  e.  A )
42 fsummulc2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4342ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
4443ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
45 nfcsb1v 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B
4645nfel1 2239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k
[_ ( f `  u )  /  k ]_ B  e.  CC
47 csbeq1a 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  u )  ->  B  =  [_ ( f `  u )  /  k ]_ B )
4847eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  u )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
4946, 48rspc 2716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  u )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
5041, 44, 49sylc 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B  e.  CC )
51 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
5251fvmpts 5382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  u
)  e.  A  /\  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  u
) )  =  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B )
5341, 50, 52syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  u
) )  =  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B )
5453, 50eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  u
) )  e.  CC )
5540, 54eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u )  e.  CC )
56 0cnd 7479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
5723nnzd 8865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  u  e.  ZZ )
5818adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  NN )
5958nnzd 8865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
60 zdcle 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  u  <_  ( `  A
) )
6157, 59, 60syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  u  <_  ( `  A
) )
6255, 56, 61ifcldadc 3420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  e.  CC )
63 breq1 3848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  u  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  u  <_  ( `  A
) ) )
64 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  u  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u )
)
6563, 64ifbieq1d 3413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  u  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  if ( u  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u ) ,  0 ) )
66 eqid 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
6765, 66fvmptg 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  NN  /\  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 ) )
6823, 62, 67syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 u ) ,  0 ) )
6968, 62eqeltrd 2164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  e.  CC )
70 csbov2g 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  u )  e.  A  ->  [_ (
f `  u )  /  k ]_ ( C  x.  B )  =  ( C  x.  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B ) )
7141, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
)  =  ( C  x.  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ B ) )
7235iftrued 3400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 u ) )
73 fvco3 5375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  u )
) )
7426, 38, 73syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  u )
) )
751ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  C  e.  CC )
7675, 50mulcld 7506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( C  x.  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B )  e.  CC )
7771, 76eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
)  e.  CC )
78 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )
7978fvmpts 5382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  u
)  e.  A  /\  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 ( f `  u ) )  = 
[_ ( f `  u )  /  k ]_ ( C  x.  B
) )
8041, 77, 79syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  u
) )  =  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ ( C  x.  B
) )
8172, 74, 803eqtrd 2124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ ( C  x.  B ) )
8235iftrued 3400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 u ) )
8382, 40, 533eqtrd 2124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  [_ ( f `
 u )  / 
k ]_ B )
8483oveq2d 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) )  =  ( C  x.  [_ ( f `  u
)  /  k ]_ B ) )
8571, 81, 843eqtr4d 2130 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  ->  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u
) ,  0 ) ) )
861ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  C  e.  CC )
8786mul01d 7869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
88 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  -.  u  <_  ( `  A )
)
8988iffalsed 3403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  0 )
9089oveq2d 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  ( C  x.  if ( u  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  u ) ,  0 ) )  =  ( C  x.  0 ) )
9188iffalsed 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  0 )
9287, 90, 913eqtr4rd 2131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  ( `  A )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) ) )
93 exmiddc 782 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  u  <_ 
( `  A )  -> 
( u  <_  ( `  A )  \/  -.  u  <_  ( `  A )
) )
9461, 93syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( u  <_  ( `  A )  \/  -.  u  <_  ( `  A ) ) )
9585, 92, 94mpjaodan 747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) ) )
9680, 77eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  u
) )  e.  CC )
9774, 96eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u )  e.  CC )
9897, 56, 61ifcldadc 3420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u ) ,  0 )  e.  CC )
99 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  u  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  u )
)
10063, 99ifbieq1d 3413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  u  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 )  =  if ( u  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u ) ,  0 ) )
101 eqid 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) `  n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) )
102100, 101fvmptg 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  NN  /\  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  u
) ,  0 ) )
10323, 98, 102syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 u ) ,  0 ) )
10468oveq2d 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( C  x.  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u ) )  =  ( C  x.  if ( u  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  u ) ,  0 ) ) )
10595, 103, 1043eqtr4d 2130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) `  u )  =  ( C  x.  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) `  u ) ) )
106 mulcl 7467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  x.  v
)  e.  CC )
107106adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( u  x.  v
)  e.  CC )
1081adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  C  e.  CC )
10913, 17, 20, 69, 105, 107, 108seq3distr 9942 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n ) ,  0 ) ) ) `
 ( `  A
) )  =  ( C  x.  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) ) )
110 fveq2 5305 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) ) )
111 simprr 499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
1121adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
113112, 42mulcld 7506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
114113fmpttd 5453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
115114adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
116115ffvelrnda 5434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  e.  CC )
117 fvco3 5375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  n )
) )
11825, 117sylan 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) ) )
119110, 18, 111, 116, 118fsum3 10775 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
120 fveq2 5305 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
12142fmpttd 5453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
122121adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
123122ffvelrnda 5434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
124 fvco3 5375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
12525, 124sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) ) )
126120, 18, 111, 123, 125fsum3 10775 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
127126oveq2d 5668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) ) )
128109, 119, 1273eqtr4rd 2131 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m ) )
129 sumfct 10759 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
13043, 129syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
131130oveq2d 5668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B ) )
132131adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B ) )
133113ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( C  x.  B
)  e.  CC )
134 sumfct 10759 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  ( C  x.  B )  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
) )
135133, 134syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
)
136135adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
137128, 132, 1363eqtr3d 2128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
138137expr 367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A  -> 
( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
139138exlimdv 1747 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
) )
140139expimpd 355 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
) ) )
141 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
142 fz1f1o 10760 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
143141, 142syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
14411, 140, 143mpjaod 673 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   [_csb 2933   (/)c0 3286   ifcif 3393   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899    o. ccom 4442   -->wf 5011   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Fincfn 6455   CCcc 7346   0cc0 7348   1c1 7349    + caddc 7351    x. cmul 7353    <_ cle 7521   NNcn 8420   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   ...cfz 9422    seqcseq 9848  ♯chash 10179   sum_csu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
This theorem is referenced by:  fsummulc1  10839  fsumneg  10841  fsum2mul  10843  cvgratnnlemabsle  10917  mertensabs  10927  eirraplem  11060
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