Theorem fsummulc2 12215

Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsummulc2.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsummulc2.2	|- ( ph -> C e. CC )
fsummulc2.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsummulc2	|- ( ph -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsummulc2

Dummy variables f m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsummulc2.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
2	1	mul01d 8720	. . 3 |- ( ph -> ( C x. 0 ) = 0 )
3		sumeq1 12121	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
4		sum0 12155	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) B = 0
5	3, 4	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = 0 )
6	5	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = ( C x. 0 ) )
7		sumeq1 12121	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( C x. B ) = sum_ k e. (/) ( C x. B ) )
8		sum0 12155	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) ( C x. B ) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2287	. . . 4 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( C x. B ) = 0 )
10	6, 9	eqeq12d 2253	. . 3 |- ( A = (/) -> ( ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) <-> ( C x. 0 ) = 0 ) )
11	2, 10	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
12		addcl 8304	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u + v ) e. CC )
13	12	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u + v ) e. CC )
14	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> C e. CC )
15		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
16		simprr 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
17	14, 15, 16	adddid 8350	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( C x. ( u + v ) ) = ( ( C x. u ) + ( C x. v ) ) )
18		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
19		nnuz 9958	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
20	18, 19	eleqtrdi 2331	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
21		elnnuz 9959	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	21	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. NN )
24		f1of 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
25	24	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
26	25	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
27		1zzd 9671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
28	18	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
29	28	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
30		eluzelz 9931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. ZZ )
31	30	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u e. ZZ )
32	27, 29, 31	3jca 1208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ u e. ZZ ) )
33		eluzle 9934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ u )
34	33	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ u )
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u <_ (♯ ` A ) )
36	34, 35	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ u /\ u <_ (♯ ` A ) ) )
37		elfz2 10418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ u e. ZZ ) /\ ( 1 <_ u /\ u <_ (♯ ` A ) ) ) )
38	32, 36, 37	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
39		fvco3 5776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) )
40	26, 38, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) )
41	26, 38	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( f ` u ) e. A )
42		fsummulc2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
43	42	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
44	43	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
45		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k [_ ( f ` u ) / k ]_ B
46	45	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC
47		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` u ) -> B = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
48	47	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` u ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) )
49	46, 48	rspc 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` u ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) )
50	41, 44, 49	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC )
51		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
52	51	fvmpts 5783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` u ) e. A /\ [_ ( f ` u ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
53	41, 50, 52	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
54	53, 50	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` u ) ) e. CC )
55	40, 54	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) e. CC )
56		0cnd 8319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
57	23	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
58	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
59	58	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
60		zdcle 9721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID u <_ (♯ ` A ) )
61	57, 59, 60	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u <_ (♯ ` A ) )
62	55, 56, 61	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC )
63		breq1 4133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> u <_ (♯ ` A ) ) )
64		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) )
65	63, 64	ifbieq1d 3663	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = u -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
66		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
67	65, 66	fvmptg 5781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. NN /\ if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
68	23, 62, 67	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
69	68, 62	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) e. CC )
70		csbov2g 6127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` u ) e. A -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
71	41, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
72	35	iftrued 3647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) )
73		fvco3 5776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ u e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) )
74	26, 38, 73	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) )
75	1	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> C e. CC )
76	75, 50	mulcld 8346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) e. CC )
77	71, 76	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) e. CC )
78		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. A |-> ( C x. B ) ) = ( k e. A |-> ( C x. B ) )
79	78	fvmpts 5783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` u ) e. A /\ [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) e. CC ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
80	41, 77, 79	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
81	72, 74, 80	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ ( C x. B ) )
82	35	iftrued 3647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) )
83	82, 40, 53	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = [_ ( f ` u ) / k ]_ B )
84	83	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) = ( C x. [_ ( f ` u ) / k ]_ B ) )
85	71, 81, 84	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
86	1	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> C e. CC )
87	86	mul01d 8720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. 0 ) = 0 )
88		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> -. u <_ (♯ ` A ) )
89	88	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) = 0 )
90	89	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) = ( C x. 0 ) )
91	88	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = 0 )
92	87, 90, 91	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ (♯ ` A ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
93		exmiddc 848	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID u <_ (♯ ` A ) -> ( u <_ (♯ ` A ) \/ -. u <_ (♯ ` A ) ) )
94	61, 93	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( u <_ (♯ ` A ) \/ -. u <_ (♯ ` A ) ) )
95	85, 92, 94	mpjaodan 810	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
96	80, 77	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` u ) ) e. CC )
97	74, 96	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) e. CC )
98	97, 56, 61	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC )
99		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) )
100	63, 99	ifbieq1d 3663	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = u -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
101		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) )
102	100, 101	fvmptg 5781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. NN /\ if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
103	23, 98, 102	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` u ) , 0 ) )
104	68	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( C x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) ) = ( C x. if ( u <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` u ) , 0 ) ) )
105	95, 103, 104	3eqtr4d 2281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) = ( C x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ` u ) ) )
106		mulcl 8306	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
107	106	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u x. v ) e. CC )
108	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> C e. CC )
109	13, 17, 20, 69, 105, 107, 108	seq3distr 10969	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( C x. ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
110		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
111		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
112	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
113	112, 42	mulcld 8346	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C x. B ) e. CC )
114	113	fmpttd 5863	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( C x. B ) ) : A --> CC )
115	114	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( C x. B ) ) : A --> CC )
116	115	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) e. CC )
117		fvco3 5776	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
118	25, 117	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` ( f ` n ) ) )
119	110, 18, 111, 116, 118	fsum3 12154	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
120		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
121	42	fmpttd 5863	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
122	121	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
123	122	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
124		fvco3 5776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
125	25, 124	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
126	120, 18, 111, 123, 125	fsum3 12154	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
127	126	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
128	109, 119, 127	3eqtr4rd 2282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) )
129		sumfct 12140	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
130	43, 129	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
131	130	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. sum_ k e. A B ) )
132	131	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( C x. sum_ k e. A B ) )
133	113	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( C x. B ) e. CC )
134		sumfct 12140	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A ( C x. B ) e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
135	133, 134	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
136	135	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( C x. B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
137	128, 132, 136	3eqtr3d 2279	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )
138	137	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
139	138	exlimdv 1872	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
140	139	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) ) )
141		fsummulc2.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
142		fz1f1o 12141	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
143	141, 142	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
144	11, 140, 143	mpjaod 730	1 |- ( ph -> ( C x. sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( C x. B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   [_csb 3147   (/)c0 3520   ifcif 3638   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   o. ccom 4778   -->wf 5373   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   <_ cle 8361   NNcn 9304   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411   seqcseq 10884  ♯chash 11214   sum_csu 12119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120

This theorem is used by:  fsummulc1  12216  fsumneg  12218  fsum2mul  12220  cvgratnnlemabsle  12294  mertensabs  12304  eirraplem  12544  fsumdvdsmul  16105