ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fisumrev2 Unicode version

Theorem fisumrev2 11347
Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fisumrev2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
fisumrev2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
fsumrev2.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsumrev2.2  |-  ( j  =  ( ( M  +  N )  -  k )  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fisumrev2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N
) B )
Distinct variable groups:    A, k    B, j    j, k, M    j, N, k    ph, j, k
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)

Proof of Theorem fisumrev2
StepHypRef Expression
1 fisumrev2.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
21adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3 fisumrev2.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
43adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
5 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
6 eluz2 9446 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1166 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
81adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
93adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
108, 9zaddcld 9291 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
11 fsumrev2.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
1211adantlr 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
13 fsumrev2.2 . . . . 5  |-  ( j  =  ( ( M  +  N )  -  k )  ->  A  =  B )
1410, 8, 9, 12, 13fsumrev 11344 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( (
( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) ) B )
158zcnd 9288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  CC )
169zcnd 9288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  CC )
1715, 16pncand 8188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( M  +  N )  -  N )  =  M )
1815, 16pncan2d 8189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N )
1917, 18oveq12d 5843 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) )  =  ( M ... N
) )
2019sumeq1d 11267 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( ( M  +  N )  -  N ) ... (
( M  +  N
)  -  M ) ) B  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
2114, 20eqtrd 2190 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
227, 21syldan 280 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
23 fzn 9945 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
241, 3, 23syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
2524biimpa 294 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
26 sum0 11289 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  A  =  0
27 sum0 11289 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2826, 27eqtr4i 2181 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  A  =  sum_ k  e.  (/)  B
29 sumeq1 11256 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ j  e.  (/)  A )
30 sumeq1 11256 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ k  e.  ( M ... N
) B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
3128, 29, 303eqtr4a 2216 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
3225, 31syl 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
33 zlelttric 9213 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
341, 3, 33syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
3522, 32, 34mpjaodan 788 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N
) B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    = wceq 1335    e. wcel 2128   (/)c0 3394   class class class wbr 3966   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   CCcc 7731   0cc0 7733    + caddc 7736    < clt 7913    <_ cle 7914    - cmin 8047   ZZcz 9168   ZZ>=cuz 9440   ...cfz 9913   sum_csu 11254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-sumdc 11255
This theorem is referenced by:  fisum0diag2  11348  efaddlem  11575
  Copyright terms: Public domain W3C validator