ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fisumrev2 Unicode version

Theorem fisumrev2 11155
Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fisumrev2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
fisumrev2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
fsumrev2.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsumrev2.2  |-  ( j  =  ( ( M  +  N )  -  k )  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fisumrev2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N
) B )
Distinct variable groups:    A, k    B, j    j, k, M    j, N, k    ph, j, k
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)

Proof of Theorem fisumrev2
StepHypRef Expression
1 fisumrev2.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
21adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3 fisumrev2.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
43adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
5 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
6 eluz2 9281 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1148 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
81adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
93adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
108, 9zaddcld 9128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
11 fsumrev2.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
1211adantlr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
13 fsumrev2.2 . . . . 5  |-  ( j  =  ( ( M  +  N )  -  k )  ->  A  =  B )
1410, 8, 9, 12, 13fsumrev 11152 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( (
( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) ) B )
158zcnd 9125 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  CC )
169zcnd 9125 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  CC )
1715, 16pncand 8038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( M  +  N )  -  N )  =  M )
1815, 16pncan2d 8039 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N )
1917, 18oveq12d 5758 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) )  =  ( M ... N
) )
2019sumeq1d 11075 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( ( M  +  N )  -  N ) ... (
( M  +  N
)  -  M ) ) B  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
2114, 20eqtrd 2148 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
227, 21syldan 278 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
23 fzn 9762 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
241, 3, 23syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
2524biimpa 292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
26 sum0 11097 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  A  =  0
27 sum0 11097 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2826, 27eqtr4i 2139 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  A  =  sum_ k  e.  (/)  B
29 sumeq1 11064 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ j  e.  (/)  A )
30 sumeq1 11064 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ k  e.  ( M ... N
) B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
3128, 29, 303eqtr4a 2174 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
3225, 31syl 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
33 zlelttric 9050 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
341, 3, 33syl2anc 406 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
3522, 32, 34mpjaodan 770 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N
) B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463   (/)c0 3331   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   0cc0 7584    + caddc 7587    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275   ...cfz 9730   sum_csu 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063
This theorem is referenced by:  fisum0diag2  11156  efaddlem  11279
  Copyright terms: Public domain W3C validator