ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fisumrev2 Unicode version

Theorem fisumrev2 11486
Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fisumrev2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
fisumrev2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
fsumrev2.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsumrev2.2  |-  ( j  =  ( ( M  +  N )  -  k )  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fisumrev2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N
) B )
Distinct variable groups:    A, k    B, j    j, k, M    j, N, k    ph, j, k
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)

Proof of Theorem fisumrev2
StepHypRef Expression
1 fisumrev2.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
21adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3 fisumrev2.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
43adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
5 simpr 110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
6 eluz2 9564 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1183 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
81adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
93adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
108, 9zaddcld 9409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
11 fsumrev2.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
1211adantlr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
13 fsumrev2.2 . . . . 5  |-  ( j  =  ( ( M  +  N )  -  k )  ->  A  =  B )
1410, 8, 9, 12, 13fsumrev 11483 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( (
( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) ) B )
158zcnd 9406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  CC )
169zcnd 9406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  CC )
1715, 16pncand 8299 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( M  +  N )  -  N )  =  M )
1815, 16pncan2d 8300 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N )
1917, 18oveq12d 5914 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) )  =  ( M ... N
) )
2019sumeq1d 11406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( ( M  +  N )  -  N ) ... (
( M  +  N
)  -  M ) ) B  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
2114, 20eqtrd 2222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
227, 21syldan 282 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
23 fzn 10072 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
241, 3, 23syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
2524biimpa 296 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
26 sum0 11428 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  A  =  0
27 sum0 11428 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2826, 27eqtr4i 2213 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  A  =  sum_ k  e.  (/)  B
29 sumeq1 11395 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ j  e.  (/)  A )
30 sumeq1 11395 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ k  e.  ( M ... N
) B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
3128, 29, 303eqtr4a 2248 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
3225, 31syl 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
33 zlelttric 9328 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
341, 3, 33syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
3522, 32, 34mpjaodan 799 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N
) B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2160   (/)c0 3437   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   0cc0 7841    + caddc 7844    < clt 8022    <_ cle 8023    - cmin 8158   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ...cfz 10038   sum_csu 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394
This theorem is referenced by:  fisum0diag2  11487  efaddlem  11714
  Copyright terms: Public domain W3C validator