ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fisumrev2 Unicode version

Theorem fisumrev2 11467
Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fisumrev2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
fisumrev2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
fsumrev2.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsumrev2.2  |-  ( j  =  ( ( M  +  N )  -  k )  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fisumrev2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N
) B )
Distinct variable groups:    A, k    B, j    j, k, M    j, N, k    ph, j, k
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)

Proof of Theorem fisumrev2
StepHypRef Expression
1 fisumrev2.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
21adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3 fisumrev2.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
43adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
5 simpr 110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
6 eluz2 9547 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
81adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
93adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
108, 9zaddcld 9392 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
11 fsumrev2.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
1211adantlr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
13 fsumrev2.2 . . . . 5  |-  ( j  =  ( ( M  +  N )  -  k )  ->  A  =  B )
1410, 8, 9, 12, 13fsumrev 11464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( (
( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) ) B )
158zcnd 9389 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  CC )
169zcnd 9389 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  CC )
1715, 16pncand 8282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( M  +  N )  -  N )  =  M )
1815, 16pncan2d 8283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N )
1917, 18oveq12d 5906 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) )  =  ( M ... N
) )
2019sumeq1d 11387 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( ( M  +  N )  -  N ) ... (
( M  +  N
)  -  M ) ) B  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
2114, 20eqtrd 2220 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
227, 21syldan 282 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  <_  N )  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
23 fzn 10055 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
241, 3, 23syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
2524biimpa 296 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
26 sum0 11409 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  A  =  0
27 sum0 11409 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2826, 27eqtr4i 2211 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  A  =  sum_ k  e.  (/)  B
29 sumeq1 11376 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ j  e.  (/)  A )
30 sumeq1 11376 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ k  e.  ( M ... N
) B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
3128, 29, 303eqtr4a 2246 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
3225, 31syl 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
33 zlelttric 9311 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
341, 3, 33syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
3522, 32, 34mpjaodan 799 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N
) B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1363    e. wcel 2158   (/)c0 3434   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7822   0cc0 7824    + caddc 7827    < clt 8005    <_ cle 8006    - cmin 8141   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541   ...cfz 10021   sum_csu 11374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375
This theorem is referenced by:  fisum0diag2  11468  efaddlem  11695
  Copyright terms: Public domain W3C validator