Theorem fisumrev2 11589

Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fisumrev2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fisumrev2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
fsumrev2.1	|- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsumrev2.2	|- ( j = ( ( M + N ) - k ) -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fisumrev2	|- ( ph -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   A, k   B, j   j, k, M   j, N, k   ph, j, k

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)

Proof of Theorem fisumrev2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fisumrev2.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		fisumrev2.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> M <_ N )
6		eluz2 9598	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anbrc 1183	. . 3 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
8	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
9	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
10	8, 9	zaddcld 9443	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
11		fsumrev2.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
12	11	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ j e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
13		fsumrev2.2	. . . . 5 |- ( j = ( ( M + N ) - k ) -> A = B )
14	10, 8, 9, 12, 13	fsumrev 11586	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( ( ( M + N ) - N ) ... ( ( M + N ) - M ) ) B )
15	8	zcnd 9440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. CC )
16	9	zcnd 9440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
17	15, 16	pncand 8331	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
18	15, 16	pncan2d 8332	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( M + N ) - M ) = N )
19	17, 18	oveq12d 5936	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( M + N ) - N ) ... ( ( M + N ) - M ) ) = ( M ... N ) )
20	19	sumeq1d 11509	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> sum_ k e. ( ( ( M + N ) - N ) ... ( ( M + N ) - M ) ) B = sum_ k e. ( M ... N ) B )
21	14, 20	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )
22	7, 21	syldan 282	. 2 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )
23		fzn 10108	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
24	1, 3, 23	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
25	24	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( M ... N ) = (/) )
26		sum0 11531	. . . . 5 |- sum_ j e. (/) A = 0
27		sum0 11531	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) B = 0
28	26, 27	eqtr4i 2217	. . . 4 |- sum_ j e. (/) A = sum_ k e. (/) B
29		sumeq1 11498	. . . 4 |- ( ( M ... N ) = (/) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ j e. (/) A )
30		sumeq1 11498	. . . 4 |- ( ( M ... N ) = (/) -> sum_ k e. ( M ... N ) B = sum_ k e. (/) B )
31	28, 29, 30	3eqtr4a 2252	. . 3 |- ( ( M ... N ) = (/) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )
32	25, 31	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ N < M ) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )
33		zlelttric 9362	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N < M ) )
34	1, 3, 33	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( M <_ N \/ N < M ) )
35	22, 32, 34	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   (/)c0 3446   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   sum_csu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  fisum0diag2  11590  efaddlem  11817