Theorem fisumrev2 11387

Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fisumrev2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fisumrev2.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
fsumrev2.1	|- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsumrev2.2	|- ( j = ( ( M + N ) - k ) -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fisumrev2	|- ( ph -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   A, k   B, j   j, k, M   j, N, k   ph, j, k

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)

Proof of Theorem fisumrev2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fisumrev2.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		fisumrev2.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
4	3	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
5		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> M <_ N )
6		eluz2 9472	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anbrc 1171	. . 3 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
8	1	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
9	3	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
10	8, 9	zaddcld 9317	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
11		fsumrev2.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
12	11	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ j e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
13		fsumrev2.2	. . . . 5 |- ( j = ( ( M + N ) - k ) -> A = B )
14	10, 8, 9, 12, 13	fsumrev 11384	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( ( ( M + N ) - N ) ... ( ( M + N ) - M ) ) B )
15	8	zcnd 9314	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. CC )
16	9	zcnd 9314	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
17	15, 16	pncand 8210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
18	15, 16	pncan2d 8211	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( M + N ) - M ) = N )
19	17, 18	oveq12d 5860	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( M + N ) - N ) ... ( ( M + N ) - M ) ) = ( M ... N ) )
20	19	sumeq1d 11307	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> sum_ k e. ( ( ( M + N ) - N ) ... ( ( M + N ) - M ) ) B = sum_ k e. ( M ... N ) B )
21	14, 20	eqtrd 2198	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )
22	7, 21	syldan 280	. 2 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )
23		fzn 9977	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
24	1, 3, 23	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
25	24	biimpa 294	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( M ... N ) = (/) )
26		sum0 11329	. . . . 5 |- sum_ j e. (/) A = 0
27		sum0 11329	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) B = 0
28	26, 27	eqtr4i 2189	. . . 4 |- sum_ j e. (/) A = sum_ k e. (/) B
29		sumeq1 11296	. . . 4 |- ( ( M ... N ) = (/) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ j e. (/) A )
30		sumeq1 11296	. . . 4 |- ( ( M ... N ) = (/) -> sum_ k e. ( M ... N ) B = sum_ k e. (/) B )
31	28, 29, 30	3eqtr4a 2225	. . 3 |- ( ( M ... N ) = (/) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )
32	25, 31	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ N < M ) -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )
33		zlelttric 9236	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N < M ) )
34	1, 3, 33	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( M <_ N \/ N < M ) )
35	22, 32, 34	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   (/)c0 3409   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  fisum0diag2  11388  efaddlem  11615