Theorem sumeq1d 11947

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sumeq1 11936	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   sum_csu 11934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-recs 6474  df-frec 6560  df-seqfrec 10714  df-sumdc 11935

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11953  sumeq12rdv  11954  fsumf1o  11972  fisumss  11974  fsumcllem  11981  fsum1  11994  fzosump1  11999  fsump1  12002  fsum2d  12017  fisumcom2  12020  fsumshftm  12027  fisumrev2  12028  telfsumo  12048  telfsum  12050  telfsum2  12051  fsumparts  12052  fsumiun  12059  bcxmas  12071  isumsplit  12073  isum1p  12074  arisum  12080  arisum2  12081  geoserap  12089  geolim  12093  geo2sum2  12097  cvgratnnlemseq  12108  cvgratnnlemsumlt  12110  mertenslemub  12116  mertenslemi1  12117  mertenslem2  12118  mertensabs  12119  efcvgfsum  12249  eftlub  12272  effsumlt  12274  eirraplem  12359  bitsinv1  12544  pcfac  12944  gsumfzfsumlem0  14622  gsumfzfsumlemm  14623  elplyr  15491  plycolemc  15509  dvply2g  15517  cvgcmp2nlemabs  16695  trilpolemeq1  16703  nconstwlpolemgt0  16728