Theorem sumeq1d 11710

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sumeq1 11699	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   sum_csu 11697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-cnv 4684  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-iota 5233  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-recs 6393  df-frec 6479  df-seqfrec 10595  df-sumdc 11698

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11716  sumeq12rdv  11717  fsumf1o  11734  fisumss  11736  fsumcllem  11743  fsum1  11756  fzosump1  11761  fsump1  11764  fsum2d  11779  fisumcom2  11782  fsumshftm  11789  fisumrev2  11790  telfsumo  11810  telfsum  11812  telfsum2  11813  fsumparts  11814  fsumiun  11821  bcxmas  11833  isumsplit  11835  isum1p  11836  arisum  11842  arisum2  11843  geoserap  11851  geolim  11855  geo2sum2  11859  cvgratnnlemseq  11870  cvgratnnlemsumlt  11872  mertenslemub  11878  mertenslemi1  11879  mertenslem2  11880  mertensabs  11881  efcvgfsum  12011  eftlub  12034  effsumlt  12036  eirraplem  12121  bitsinv1  12306  pcfac  12706  gsumfzfsumlem0  14381  gsumfzfsumlemm  14382  elplyr  15245  plycolemc  15263  dvply2g  15271  cvgcmp2nlemabs  16008  trilpolemeq1  16016  nconstwlpolemgt0  16040