Theorem sumeq1d 12113

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sumeq1 12102	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   sum_csu 12100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-cnv 4780  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-recs 6569  df-frec 6655  df-seqfrec 10866  df-sumdc 12101

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  12119  sumeq12rdv  12120  fsumf1o  12138  fisumss  12140  fsumcllem  12147  fsum1  12160  fzosump1  12165  fsump1  12168  fsum2d  12183  fisumcom2  12186  fsumshftm  12193  fisumrev2  12194  telfsumo  12214  telfsum  12216  telfsum2  12217  fsumparts  12218  fsumiun  12225  bcxmas  12237  isumsplit  12239  isum1p  12240  arisum  12246  arisum2  12247  geoserap  12255  geolim  12259  geo2sum2  12263  cvgratnnlemseq  12274  cvgratnnlemsumlt  12276  mertenslemub  12282  mertenslemi1  12283  mertenslem2  12284  mertensabs  12285  efcvgfsum  12415  eftlub  12438  effsumlt  12440  eirraplem  12525  bitsinv1  12710  pcfac  13110  elplyr  15767  plycolemc  15785  dvply2g  15793  logfac  15921  cvgcmp2nlemabs  16989  trilpolemeq1  16997  nconstwlpolemgt0  17022