Theorem sumeq1d 12006

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sumeq1 11995	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   sum_csu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-recs 6514  df-frec 6600  df-seqfrec 10773  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  12012  sumeq12rdv  12013  fsumf1o  12031  fisumss  12033  fsumcllem  12040  fsum1  12053  fzosump1  12058  fsump1  12061  fsum2d  12076  fisumcom2  12079  fsumshftm  12086  fisumrev2  12087  telfsumo  12107  telfsum  12109  telfsum2  12110  fsumparts  12111  fsumiun  12118  bcxmas  12130  isumsplit  12132  isum1p  12133  arisum  12139  arisum2  12140  geoserap  12148  geolim  12152  geo2sum2  12156  cvgratnnlemseq  12167  cvgratnnlemsumlt  12169  mertenslemub  12175  mertenslemi1  12176  mertenslem2  12177  mertensabs  12178  efcvgfsum  12308  eftlub  12331  effsumlt  12333  eirraplem  12418  bitsinv1  12603  pcfac  13003  gsumfzfsumlem0  14682  gsumfzfsumlemm  14683  elplyr  15551  plycolemc  15569  dvply2g  15577  cvgcmp2nlemabs  16764  trilpolemeq1  16772  nconstwlpolemgt0  16797