Theorem sumeq1d 11792

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sumeq1 11781	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   sum_csu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-recs 6414  df-frec 6500  df-seqfrec 10630  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11798  sumeq12rdv  11799  fsumf1o  11816  fisumss  11818  fsumcllem  11825  fsum1  11838  fzosump1  11843  fsump1  11846  fsum2d  11861  fisumcom2  11864  fsumshftm  11871  fisumrev2  11872  telfsumo  11892  telfsum  11894  telfsum2  11895  fsumparts  11896  fsumiun  11903  bcxmas  11915  isumsplit  11917  isum1p  11918  arisum  11924  arisum2  11925  geoserap  11933  geolim  11937  geo2sum2  11941  cvgratnnlemseq  11952  cvgratnnlemsumlt  11954  mertenslemub  11960  mertenslemi1  11961  mertenslem2  11962  mertensabs  11963  efcvgfsum  12093  eftlub  12116  effsumlt  12118  eirraplem  12203  bitsinv1  12388  pcfac  12788  gsumfzfsumlem0  14463  gsumfzfsumlemm  14464  elplyr  15327  plycolemc  15345  dvply2g  15353  cvgcmp2nlemabs  16173  trilpolemeq1  16181  nconstwlpolemgt0  16205