ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumeq1d Unicode version

Theorem sumeq1d 11345
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq1d.1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
sumeq1d  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k    B, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq1d
StepHypRef Expression
1 sumeq1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
2 sumeq1 11334 . 2  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
31, 2syl 14 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353   sum_csu 11332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-cnv 4630  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-iota 5173  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-recs 6299  df-frec 6385  df-seqfrec 10419  df-sumdc 11333
This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11351  sumeq12rdv  11352  fsumf1o  11369  fisumss  11371  fsumcllem  11378  fsum1  11391  fzosump1  11396  fsump1  11399  fsum2d  11414  fisumcom2  11417  fsumshftm  11424  fisumrev2  11425  telfsumo  11445  telfsum  11447  telfsum2  11448  fsumparts  11449  fsumiun  11456  bcxmas  11468  isumsplit  11470  isum1p  11471  arisum  11477  arisum2  11478  geoserap  11486  geolim  11490  geo2sum2  11494  cvgratnnlemseq  11505  cvgratnnlemsumlt  11507  mertenslemub  11513  mertenslemi1  11514  mertenslem2  11515  mertensabs  11516  efcvgfsum  11646  eftlub  11669  effsumlt  11671  eirraplem  11755  pcfac  12318  cvgcmp2nlemabs  14403  trilpolemeq1  14411  nconstwlpolemgt0  14434
  Copyright terms: Public domain W3C validator