Theorem sumeq1d 12055

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sumeq1 12044	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   sum_csu 12042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-cnv 4759  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-recs 6538  df-frec 6624  df-seqfrec 10814  df-sumdc 12043

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  12061  sumeq12rdv  12062  fsumf1o  12080  fisumss  12082  fsumcllem  12089  fsum1  12102  fzosump1  12107  fsump1  12110  fsum2d  12125  fisumcom2  12128  fsumshftm  12135  fisumrev2  12136  telfsumo  12156  telfsum  12158  telfsum2  12159  fsumparts  12160  fsumiun  12167  bcxmas  12179  isumsplit  12181  isum1p  12182  arisum  12188  arisum2  12189  geoserap  12197  geolim  12201  geo2sum2  12205  cvgratnnlemseq  12216  cvgratnnlemsumlt  12218  mertenslemub  12224  mertenslemi1  12225  mertenslem2  12226  mertensabs  12227  efcvgfsum  12357  eftlub  12380  effsumlt  12382  eirraplem  12467  bitsinv1  12652  pcfac  13052  gsumfzfsumlem0  14751  gsumfzfsumlemm  14752  elplyr  15622  plycolemc  15640  dvply2g  15648  cvgcmp2nlemabs  16833  trilpolemeq1  16841  nconstwlpolemgt0  16867