Theorem sumeq1d 11893

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sumeq1 11882	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   sum_csu 11880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-seqfrec 10682  df-sumdc 11881

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11899  sumeq12rdv  11900  fsumf1o  11917  fisumss  11919  fsumcllem  11926  fsum1  11939  fzosump1  11944  fsump1  11947  fsum2d  11962  fisumcom2  11965  fsumshftm  11972  fisumrev2  11973  telfsumo  11993  telfsum  11995  telfsum2  11996  fsumparts  11997  fsumiun  12004  bcxmas  12016  isumsplit  12018  isum1p  12019  arisum  12025  arisum2  12026  geoserap  12034  geolim  12038  geo2sum2  12042  cvgratnnlemseq  12053  cvgratnnlemsumlt  12055  mertenslemub  12061  mertenslemi1  12062  mertenslem2  12063  mertensabs  12064  efcvgfsum  12194  eftlub  12217  effsumlt  12219  eirraplem  12304  bitsinv1  12489  pcfac  12889  gsumfzfsumlem0  14566  gsumfzfsumlemm  14567  elplyr  15430  plycolemc  15448  dvply2g  15456  cvgcmp2nlemabs  16488  trilpolemeq1  16496  nconstwlpolemgt0  16520