Theorem sumeq1d 11877

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sumeq1 11866	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   sum_csu 11864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-recs 6451  df-frec 6537  df-seqfrec 10670  df-sumdc 11865

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11883  sumeq12rdv  11884  fsumf1o  11901  fisumss  11903  fsumcllem  11910  fsum1  11923  fzosump1  11928  fsump1  11931  fsum2d  11946  fisumcom2  11949  fsumshftm  11956  fisumrev2  11957  telfsumo  11977  telfsum  11979  telfsum2  11980  fsumparts  11981  fsumiun  11988  bcxmas  12000  isumsplit  12002  isum1p  12003  arisum  12009  arisum2  12010  geoserap  12018  geolim  12022  geo2sum2  12026  cvgratnnlemseq  12037  cvgratnnlemsumlt  12039  mertenslemub  12045  mertenslemi1  12046  mertenslem2  12047  mertensabs  12048  efcvgfsum  12178  eftlub  12201  effsumlt  12203  eirraplem  12288  bitsinv1  12473  pcfac  12873  gsumfzfsumlem0  14550  gsumfzfsumlemm  14551  elplyr  15414  plycolemc  15432  dvply2g  15440  cvgcmp2nlemabs  16400  trilpolemeq1  16408  nconstwlpolemgt0  16432