Theorem sumeq1d 11677

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sumeq1 11666	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   sum_csu 11664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-recs 6391  df-frec 6477  df-seqfrec 10593  df-sumdc 11665

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11683  sumeq12rdv  11684  fsumf1o  11701  fisumss  11703  fsumcllem  11710  fsum1  11723  fzosump1  11728  fsump1  11731  fsum2d  11746  fisumcom2  11749  fsumshftm  11756  fisumrev2  11757  telfsumo  11777  telfsum  11779  telfsum2  11780  fsumparts  11781  fsumiun  11788  bcxmas  11800  isumsplit  11802  isum1p  11803  arisum  11809  arisum2  11810  geoserap  11818  geolim  11822  geo2sum2  11826  cvgratnnlemseq  11837  cvgratnnlemsumlt  11839  mertenslemub  11845  mertenslemi1  11846  mertenslem2  11847  mertensabs  11848  efcvgfsum  11978  eftlub  12001  effsumlt  12003  eirraplem  12088  bitsinv1  12273  pcfac  12673  gsumfzfsumlem0  14348  gsumfzfsumlemm  14349  elplyr  15212  plycolemc  15230  dvply2g  15238  cvgcmp2nlemabs  15971  trilpolemeq1  15979  nconstwlpolemgt0  16003