Theorem sumeq1d 11927

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sumeq1 11916	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   sum_csu 11914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-recs 6471  df-frec 6557  df-seqfrec 10710  df-sumdc 11915

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11933  sumeq12rdv  11934  fsumf1o  11952  fisumss  11954  fsumcllem  11961  fsum1  11974  fzosump1  11979  fsump1  11982  fsum2d  11997  fisumcom2  12000  fsumshftm  12007  fisumrev2  12008  telfsumo  12028  telfsum  12030  telfsum2  12031  fsumparts  12032  fsumiun  12039  bcxmas  12051  isumsplit  12053  isum1p  12054  arisum  12060  arisum2  12061  geoserap  12069  geolim  12073  geo2sum2  12077  cvgratnnlemseq  12088  cvgratnnlemsumlt  12090  mertenslemub  12096  mertenslemi1  12097  mertenslem2  12098  mertensabs  12099  efcvgfsum  12229  eftlub  12252  effsumlt  12254  eirraplem  12339  bitsinv1  12524  pcfac  12924  gsumfzfsumlem0  14602  gsumfzfsumlemm  14603  elplyr  15466  plycolemc  15484  dvply2g  15492  cvgcmp2nlemabs  16639  trilpolemeq1  16647  nconstwlpolemgt0  16671