Theorem unfiin 6563

Description: The union of two finite sets is finite if their intersection is. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unfiin	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem unfiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 496	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpr 108	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
3		inss1 3204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
5		undiffi 6562	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1170	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
7		simplr 497	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
8		inss2 3205	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
9	8	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
10		undiffi 6562	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → 𝐵 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
11	7, 2, 9, 10	syl3anc 1170	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → 𝐵 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
12	6, 11	uneq12d 3139	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∪ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
13		unundi 3145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∪ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
14	12, 13	syl6eqr 2133	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
15		diffifi 6540	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Fin)
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1170	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Fin)
17		diffifi 6540	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Fin)
18	7, 2, 9, 17	syl3anc 1170	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Fin)
19		incom 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
20	19	difeq2i 3099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∖ (𝐵 ∩ 𝐴)) = (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))
21		difin 3219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∖ (𝐵 ∩ 𝐴)) = (𝐵 ∖ 𝐴)
22	20, 21	eqtr3i 2105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐵 ∖ 𝐴)
23	22	ineq2i 3182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐵 ∖ 𝐴))
24		difss 3110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐴
25		disjdif 3337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
26		ssdisj 3321	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
27	24, 25, 26	mp2an 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
28	23, 27	eqtri 2103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ∅
29	28	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ∅)
30		unfidisj 6559	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ∅) → ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ Fin)
31	16, 18, 29, 30	syl3anc 1170	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ Fin)
32		difundir 3235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))
33	32	ineq2i 3182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
34		disjdif 3337	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ∅
35	33, 34	eqtr3i 2105	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = ∅
36	35	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = ∅)
37		unfidisj 6559	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = ∅) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ∈ Fin)
38	2, 31, 36, 37	syl3anc 1170	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ∈ Fin)
39	14, 38	eqeltrd 2159	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
40	39	3impa 1134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   ∖ cdif 2981   ∪ cun 2982   ∩ cin 2983   ⊆ wss 2984  ∅c0 3269  Fincfn 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-1o 6113  df-er 6222  df-en 6388  df-fin 6390

This theorem is referenced by: (None)